tag:blogger.com,1999:blog-21503008243168859472024-03-13T13:50:25.490-07:00Giros, traslaciones y simetríasDr. Néstor Martín Gulias, catedrático de dibujo técnicohttp://www.blogger.com/profile/03720592188547282148noreply@blogger.comBlogger4125tag:blogger.com,1999:blog-2150300824316885947.post-37014524921793422252010-10-16T00:22:00.000-07:002015-10-05T07:22:46.428-07:00Movimientos o transformaciones isométricas: traslaciones, giros y simetrías.<div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm;">
<span style="font-family: Arial;"><b>Movimiento </b>es una transformación (aplicación en la que a un punto
se le hace corresponder otro) en la que la forma y tamaño de las figuras
resultan invariables. Las simetrías se consideran movimientos inversos por que
no conservan la orientación de la figuras.<o:p></o:p></span></div>
<div style="margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<br /></div>
<div style="margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<br /></div>
<div style="margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<span style="font-family: Arial;">Los desplazamientos o movimientos en el
plano son por tanto aquellas transformaciones de una figura en otra igual,
tanto en su forma como en sus dimensiones. Se dice que el desplazamiento es
positivo cuando sigue el sentido contrario a las agujas del reloj. Un
desplazamiento es directo si conserva el sentido de los ángulos mientras que es
inverso si no los conserva. El producto o composición de desplazamientos es un
grupo no conmutativo, cuyo elemento neutro es la identidad, esto es, un
desplazamiento que mantiene invariante la figura.<o:p></o:p></span></div>
<div style="margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<br /></div>
<div style="margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<br /></div>
<div style="margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<span style="font-family: Arial;">Los movimientos tienen estructura
algebraica de grupo, pues su composición (producto de movimientos) tiene las
propiedades:<o:p></o:p></span></div>
<div style="margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<span style="font-family: Arial;">1- Es una operación: de 2 movimientos se
obtiene otro.<o:p></o:p></span></div>
<div style="margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<span style="font-family: Arial;">2- Es asociativa: la composición de
movimientos es independiente del modo de asociarse.<o:p></o:p></span></div>
<div style="margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<span style="font-family: Arial;">3- Elemento neutro: el movimiento
identidad que deja invariante la posición de la figura.<o:p></o:p></span></div>
<div style="margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<span style="font-family: Arial;">El elemento neutro es el movimiento
identidad que transforma cada punto en sí mismo: giro de 360º, traslación de
distancia 0, composición de traslaciones con movimiento inverso (desplazar de A
a B y de B a A), etc.<o:p></o:p></span></div>
<div style="margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<span style="font-family: Arial;">4- Elemento simétrico: todo elemento de
cualquier movimiento tiene su simétrico.<o:p></o:p></span></div>
<div style="margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<span style="font-family: Arial;">El elemento simétrico de un movimiento es
el que que operado con cualquier otro movimiento da el elemento neutro de la
operación.<o:p></o:p></span></div>
<div style="margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<br /></div>
<div style="margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<br /></div>
<div style="margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<span style="font-family: Arial;"><b>Congruencia en el plano:</b><o:p></o:p></span></div>
<div style="margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<span style="font-family: Arial;">Dos figuras son congruentes cuando se
transforma una en otra mediante un desplazamiento, de lo que resulta una figura
idéntica. Si la congruencia es directa la figura resultante se ha desplazado
por el plano que contiene a la anterior, mientras que si es inversa es como si
se aplicara una simetría axial en el plano, o bien como si se aplicara un
abatimiento (giro o pliegue) respecto a un eje del plano de manera que la
figura resulta invertida.<o:p></o:p></span></div>
<div style="margin: 0cm 0cm 0.0001pt;">
<span style="font-family: Arial;">En la congruencia, la identidad es un
desplazamiento que hace que la figura permanezca invariante.<o:p></o:p></span></div>
<div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: Arial; font-size: 12.0pt; line-height: 115%; mso-ansi-language: GL;">Los m</span><span lang="ES" style="font-family: Arial; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;">ovimientos en el plano son los cambios de
posición que se tienen al aplicar sucesivamente a una figura un número
cualquiera de traslaciones, giros y simetrías. En todo movimiento se da una
posición inicial y otra final, como resultado de aplicar la transformación
geométrica. Los movimientos son correspondencias biunívocas que permiten
obtener una figura final congruente con la inicial de manera que cada punto de
la original le corresponde un punto de la imagen final y recíprocamente.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span lang="ES" style="font-family: Arial; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<b><span lang="ES" style="font-family: Arial; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;">Traslación:</span></b><span lang="ES" style="font-family: Arial; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;"> es aplicar
un movimiento rectilíneo según una dirección determinada. Un vector de
traslación marca la dirección, el sentido y la magnitud del desplazamiento. Los
segmentos homólogos conservan su longitud y dirección, se mantiene el
paralelismo, los ángulos homólogos se conservan iguales.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span lang="ES" style="font-family: Arial; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<b><span lang="ES" style="font-family: Arial; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;">Giro:</span></b><span lang="ES" style="font-family: Arial; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;"> girar es
aplicar un movimiento de rotación respecto a un punto fijo llamado centro de
giro o rotación. Se dice que es positivo o levógiro cuando es contrario a las
agujas del reloj o a la izquierda y negativo mientras que dextrógiro cuando
sigue el sentido de las agujas del reloj o a la derecha.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span lang="ES" style="font-family: Arial; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<b><span lang="ES" style="font-family: Arial; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;">Simetría central:</span></b><span lang="ES" style="font-family: Arial; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;"> es el
movimiento correspondiente a un giro cuyo ángulo vale 180° teniendo como centro
de rotación el de una homotecia particular que transforman la figura original
en la final. En toda simetría central, dos puntos simétricos se encuentran
alineados y son equidistantes del centro de simetría, de ello se desprende que
los segmentos simétricos respecto a un punto deben ser paralelos.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span lang="ES" style="font-family: Arial; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<b><span lang="ES" style="font-family: Arial; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;">Simetría axial:</span></b><span lang="ES" style="font-family: Arial; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;"> de una
figura que se gira en torno a un eje de simetría de manera que se levanta del
plano que la contiene hasta volver a él. Es una rotación de 180° en el espacio
alrededor de una recta fija llamada eje. Entre una figura y su simétrica,
existe el eje de simetría de manera que cada punto tiene a su simétrico dejando
en el centro por mediatriz al eje de simetría.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span lang="ES" style="font-family: Arial; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<b><span lang="ES" style="font-family: Arial; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;">Movimientos
directos e inversos:</span></b><span lang="ES" style="font-family: Arial; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;"> un movimiento es directo cuando conserva
el sentido de giro, de manera que se mantiene el sentido de ordenación de los
elementos del plano. Las traslaciones y los giros, incluida la simetría
central, son movimientos directos, se dice que son directamente iguales. Un
movimiento es inverso cuando no se conserva el sentido de giro de las figuras,
invirtiendo el sentido del plano, como sucede en el caso de las simetrías
axiales.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span lang="ES" style="font-family: Arial; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<b><span lang="ES" style="font-family: Arial; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;">Producto de
movimientos:</span></b><span lang="ES" style="font-family: Arial; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;"> es la aplicación sucesiva de dos o más movimientos. Al
aplicar varios movimientos se genera otro movimiento.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span lang="ES" style="font-family: Arial; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<b><span lang="ES" style="font-family: Arial; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;">Producto de
traslaciones:</span></b><span lang="ES" style="font-family: Arial; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;"> el producto de dos translaciones definidas por los vectores
es otra traslación del vector.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span lang="ES" style="font-family: Arial; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<b><span lang="ES" style="font-family: Arial; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;">Producto de dos
giros:</span></b><span lang="ES" style="font-family: Arial; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;"> es otro giro, de centro la intersección de las mediatrices
de los segmentos que unen puntos homólogos de las posiciones original y final.
Si las rectas mediatrices son paralelas, el producto de ambos giros es una
traslación.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span lang="ES" style="font-family: Arial; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<b><span lang="ES" style="font-family: Arial; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;">Producto de una
traslación por un giro:</span></b><span lang="ES" style="font-family: Arial; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;"> es un giro cuyo centro es la intersección
de las mediatrices de los segmentos que une los puntos homólogos de las
posiciones original y final. Como la traslación puede considerarse un giro de centro
impropio, el producto de una traslación por un giro y el producto de los giros,
determinan el centro de la misma forma.<o:p></o:p></span></div>
<br />
<div class="MsoNormal">
<span lang="ES" style="font-family: Arial; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;">Producto de dos simetrías axiales: es un giro, cuyo centro
es el punto de intersección de los ejes de simetría. Si ambos ejes son paralelos
se produce una traslación, esto es, un giro del centro impropio.<o:p></o:p></span></div>
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://3.bp.blogspot.com/-COj1wdzWdjw/VhKHnuan7XI/AAAAAAAAIuM/gzAgEizsgYg/s1600/t%2Bg%2Bs%2B2.bmp" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://3.bp.blogspot.com/-COj1wdzWdjw/VhKHnuan7XI/AAAAAAAAIuM/gzAgEizsgYg/s1600/t%2Bg%2Bs%2B2.bmp" /></a></div>
<br />Dr. Néstor Martín Gulias, catedrático de dibujo técnicohttp://www.blogger.com/profile/03720592188547282148noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-2150300824316885947.post-53087804730404957602010-10-16T00:20:00.007-07:002023-04-26T02:21:25.640-07:00Giros<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg6Id2uhZHmm-zSFdLx-cFOjB6KtAzc1x25rL8ms6r0dqBSdKEDju3KRrUVkWxGTF96CEzxk8vstpvsEsJSvsAWFmhzB0ebzOQ-Wu9LX0qPfxpk68_OmlA6ycwRIwpw3mfhoJA0gOvheBRijdNHlnvawZiyrH6RJTcgSMR9SMXf9McUVP8eyglvwuszMw/s1568/cuad2%20entrelaz%202.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="568" data-original-width="1568" height="179" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg6Id2uhZHmm-zSFdLx-cFOjB6KtAzc1x25rL8ms6r0dqBSdKEDju3KRrUVkWxGTF96CEzxk8vstpvsEsJSvsAWFmhzB0ebzOQ-Wu9LX0qPfxpk68_OmlA6ycwRIwpw3mfhoJA0gOvheBRijdNHlnvawZiyrH6RJTcgSMR9SMXf9McUVP8eyglvwuszMw/w495-h179/cuad2%20entrelaz%202.jpg" width="495" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span id="docs-internal-guid-78963963-7fff-ea28-12ae-a8d8ec5a5e06"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">Diseños de logos a partir de figuras giradas</span></p><br /><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;"><br /></p><div><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;"><br /></span></div></span></div><br /><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiS6xpIntLAvy0L7kb62ig4pOl6VGkAmTcdaa3iVG-uYi22r6toGbbRE_7-FNMl8F6jCgAKNzW3e8QfmxxJ3XU8hgf2fSzIxsmxvvWhwVP-JMuHTHmimknzAvJa2tJDmA3dMz814f8vUPYbBzNkoxE0cPl36rroodtLN5WG5Me9HwERmLGrZwgiQWFXTA/s938/forma%20imposible.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="514" data-original-width="938" height="175" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiS6xpIntLAvy0L7kb62ig4pOl6VGkAmTcdaa3iVG-uYi22r6toGbbRE_7-FNMl8F6jCgAKNzW3e8QfmxxJ3XU8hgf2fSzIxsmxvvWhwVP-JMuHTHmimknzAvJa2tJDmA3dMz814f8vUPYbBzNkoxE0cPl36rroodtLN5WG5Me9HwERmLGrZwgiQWFXTA/s320/forma%20imposible.png" width="320" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: Arial; font-size: 14.6667px; white-space: pre-wrap;"> Figura imposible obtenida por el giro de un polígono regular.</span></div><br /><br /><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjtMAJZsM3prIEOHs3XTBHablaNVJCskhpSwiEVRU-WI1A__f85e76aU1uykyCVghCNButQc3imu-4k-cLPZ2E41Ds614-tGqmYBmIpD1UuJcKqpXIpp_-o65oiHoefrj_P1Rg4Gj1nj__AuFbKwiizWxEw5qBp2HtWZrZcB_czeZ0cLC8trLc-bFwN0g/s576/gi-.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="576" data-original-width="526" height="423" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjtMAJZsM3prIEOHs3XTBHablaNVJCskhpSwiEVRU-WI1A__f85e76aU1uykyCVghCNButQc3imu-4k-cLPZ2E41Ds614-tGqmYBmIpD1UuJcKqpXIpp_-o65oiHoefrj_P1Rg4Gj1nj__AuFbKwiizWxEw5qBp2HtWZrZcB_czeZ0cLC8trLc-bFwN0g/w386-h423/gi-.png" width="386" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span id="docs-internal-guid-81b0b6c1-7fff-ec3f-c5eb-86270832e05b"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: left;"><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">Si transformamos el triángulo superior de color rojo en el inferior de color rojo mediante un giro de 130º y tomamos el mismo centro O para transformar mediante otro giro en el mismo sentido el triángulo azul vemos que podemos obtener mediante un giro de la suma de las amplitudes de esos ángulos, el triángulo azul a partir del primero.</span></p><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: left;"><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">Podemos deducir en consecuencia que el producto de dos giros de mismo centro es como resultado otro giro de igual centro y cuyo ángulo es la suma de los ángulos utilizados para ambos giros.</span></p><div><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;"><br /></span></div></span></div><br /><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEim_RoiQw6LTEL4_52Nkv9lzLVYYjCRoSHh_mLO2PbOd9vwadvMgKZG6cGNHwUTRBos2UnnQCj9HiHJ72gcqf2LnMdgMiuMm6h9gXaI_ud6pDrWlRyHJSJtcUK9_b3NmVK1zfiMzgrncdYtGNhwES3zeGSCg14IDm1r-xBi1l7M0EBXBnocf1oGiFfK5g/s714/prod%20gi%202.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="608" data-original-width="714" height="374" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEim_RoiQw6LTEL4_52Nkv9lzLVYYjCRoSHh_mLO2PbOd9vwadvMgKZG6cGNHwUTRBos2UnnQCj9HiHJ72gcqf2LnMdgMiuMm6h9gXaI_ud6pDrWlRyHJSJtcUK9_b3NmVK1zfiMzgrncdYtGNhwES3zeGSCg14IDm1r-xBi1l7M0EBXBnocf1oGiFfK5g/w440-h374/prod%20gi%202.png" width="440" /></a></div><span id="docs-internal-guid-41823220-7fff-d48f-5f7d-8658bbda01e6"><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">Si hacemos un giro que transforma la figura ocre de la izquierda en la figura naranja central mediante un ángulo de 90º y hacemos otro giro de manera que convertimos la figura central en la figura violeta de la derecha mediante otro giro de 30º observamos que podemos transformar el primero en el tercero mediante un giro cuyo centro es en realidad la intersección de las dos mediatrices que definen los puntos de los lados de las figuras transformadas y el ángulo es la suma de ambos, esto es, 120º.</span></span><br /><br /><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgmu6Jl1yBztD8jNCxQzOh0ALEFPWW9-_hSMzR2hg_JHDRWH6p3pa8yBT1CuDKE5vWo5xufO76O9WHp6z2Kg51T7sl8nqVQAeiWUq0pT4yMph7gFJXrW_ojIpRkNp8im92SLodl_rSHToCigwPpFS1OZ1JiKF-IQg60hAizDfIQxCgfLVHN_SldhGoalQ/s624/si%20de%20ejes%20concurrentes.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="536" data-original-width="624" height="275" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgmu6Jl1yBztD8jNCxQzOh0ALEFPWW9-_hSMzR2hg_JHDRWH6p3pa8yBT1CuDKE5vWo5xufO76O9WHp6z2Kg51T7sl8nqVQAeiWUq0pT4yMph7gFJXrW_ojIpRkNp8im92SLodl_rSHToCigwPpFS1OZ1JiKF-IQg60hAizDfIQxCgfLVHN_SldhGoalQ/s320/si%20de%20ejes%20concurrentes.png" width="320" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span id="docs-internal-guid-b27eafda-7fff-ad80-3a11-2f9171014ad6"><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">El producto de dos simetrías de ejes concurrentes es un giro</span></span></div><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhev1Ecfs0EIeFVpUicl5zL8X5fQXf6GXb3z6uAkyTXctzHgrTIIeYDwypiX7flHUSgEQoY5T6cvvyiXzUeOeI6py3wk60lwvTluP0QJT-fQ6PepJkuxirr1T8Gu-1K0fU398ZjRpVT4BeQ-lYtFHMerlyerOL-nfMuJhDKFqvDC3f-hfjPYYdBKexIgQ/s916/produc%20si.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="644" data-original-width="916" height="306" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhev1Ecfs0EIeFVpUicl5zL8X5fQXf6GXb3z6uAkyTXctzHgrTIIeYDwypiX7flHUSgEQoY5T6cvvyiXzUeOeI6py3wk60lwvTluP0QJT-fQ6PepJkuxirr1T8Gu-1K0fU398ZjRpVT4BeQ-lYtFHMerlyerOL-nfMuJhDKFqvDC3f-hfjPYYdBKexIgQ/w435-h306/produc%20si.png" width="435" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span id="docs-internal-guid-cd9bb950-7fff-fd3f-5b2c-688798102038"><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">A la izquierda, el producto de dos simetrías de ejes concurrentes es un giro mientras que a la derecha observamos que, el producto de dos simetrías de ejes paralelos es una traslación.</span></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><br /><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><br /><br /><table border="0" style="width: 600px;"><tbody><tr><td><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjLPrLAspLBmZvLgWPkdRueJgU23GA1VgpqepvRcymiee5lwMkV6RMjVhSmRDy9puafxck5dpJpethcsOO7Rnc1OKaYtKvwPaZpuI38JMUxM6FPDqe3HM-Y1Oe5muGpQ89tA9-aSIkb34tKsqk2nNm6S4fjtnN0sToeYh1D0YiS7v3ZoQgyP1XttLR5MQ/s1036/roseta.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="574" data-original-width="1036" height="258" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjLPrLAspLBmZvLgWPkdRueJgU23GA1VgpqepvRcymiee5lwMkV6RMjVhSmRDy9puafxck5dpJpethcsOO7Rnc1OKaYtKvwPaZpuI38JMUxM6FPDqe3HM-Y1Oe5muGpQ89tA9-aSIkb34tKsqk2nNm6S4fjtnN0sToeYh1D0YiS7v3ZoQgyP1XttLR5MQ/w467-h258/roseta.png" width="467" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiYBmV2ASNG8kblLbMbdnV5dIFTHSN5Rnp0ZExSvp3uaYgB-XqiasYAi0WQl8-RWw7FqwHWQJG_ep7gtQkmsZAKv5nF3JVgrQz1iAf-JCBbKV9vFU9xSYP9IO9-8sEQkNKkyIYOE0yly1RGORQKCDOrAmZDGv9Byobz_yPGJO6v_fC1PB1Owk8uq1rAgg/s854/produc%20giros.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="606" data-original-width="854" height="324" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiYBmV2ASNG8kblLbMbdnV5dIFTHSN5Rnp0ZExSvp3uaYgB-XqiasYAi0WQl8-RWw7FqwHWQJG_ep7gtQkmsZAKv5nF3JVgrQz1iAf-JCBbKV9vFU9xSYP9IO9-8sEQkNKkyIYOE0yly1RGORQKCDOrAmZDGv9Byobz_yPGJO6v_fC1PB1Owk8uq1rAgg/w457-h324/produc%20giros.png" width="457" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEicmVicDKbpSAB-I5ZTf6zluGEUA03LS4dPPOCLNjB3SqTLXGSUQfGMpiqjLjKdU-TmtBvLGq4wtmdTN3pLWXDm68YkZve-zb6DeIAxpbdAm0YfC5fmopl470uJTyg32HZuulKBJUrreTC8SiY7gkrnuiIoYOePkKFlx-MlVyzODfzzpfwNeKh8YO6DiA/s554/logo%207.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="554" data-original-width="550" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEicmVicDKbpSAB-I5ZTf6zluGEUA03LS4dPPOCLNjB3SqTLXGSUQfGMpiqjLjKdU-TmtBvLGq4wtmdTN3pLWXDm68YkZve-zb6DeIAxpbdAm0YfC5fmopl470uJTyg32HZuulKBJUrreTC8SiY7gkrnuiIoYOePkKFlx-MlVyzODfzzpfwNeKh8YO6DiA/s320/logo%207.png" width="318" /></a></div><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiaIv32RTUwxg7vtEKqAoPYxfBERNTsXRwVTsNCReACxxOJYbsUe45PbOwMJT8gBdII1aQhI1wqiBbf8k24PisGQEECoIqR-0IGggOQQOwzlaKUeRWI6pxRbysKFtFhUdt3Nwi3vzlIXXpsYBlrA1K2rKbx9fOsUZrtipdRtIgm964hijXHZOHtPoHWvQ/s698/gi%20mas%20trasla.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="640" data-original-width="698" height="388" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiaIv32RTUwxg7vtEKqAoPYxfBERNTsXRwVTsNCReACxxOJYbsUe45PbOwMJT8gBdII1aQhI1wqiBbf8k24PisGQEECoIqR-0IGggOQQOwzlaKUeRWI6pxRbysKFtFhUdt3Nwi3vzlIXXpsYBlrA1K2rKbx9fOsUZrtipdRtIgm964hijXHZOHtPoHWvQ/w424-h388/gi%20mas%20trasla.png" width="424" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgQ0uocqjuWvo3o30E6Xxh8PV-63HxAsZ5SpDzTSv7OI7O2KcfMGNyLzsfPtPt2LldMgwVfG7-s9a2gDcJ6y1RzR0_urvfuUZg_4hOv-RCt3SqAdN6Cgx6gzqph8kKXFZD8xRaaqCk6Ffoad02S4t50bcfCx7oIxU38i_EQavel6Oa7a5Bc6F53u4oyfA/s982/Formas%20imposibles%20entrelazadas.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="493" data-original-width="982" height="301" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgQ0uocqjuWvo3o30E6Xxh8PV-63HxAsZ5SpDzTSv7OI7O2KcfMGNyLzsfPtPt2LldMgwVfG7-s9a2gDcJ6y1RzR0_urvfuUZg_4hOv-RCt3SqAdN6Cgx6gzqph8kKXFZD8xRaaqCk6Ffoad02S4t50bcfCx7oIxU38i_EQavel6Oa7a5Bc6F53u4oyfA/w598-h301/Formas%20imposibles%20entrelazadas.png" width="598" /></a></div><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj4uM31NrNz2j4n6etrbGY1GK1OCHq_TUyj-xeeGkC-lyyfhJep-uhEg04GxECWvx4CPfRig8ea8jMAU6vlXt68jcmUFNplqQbGdrBXWMNuaaxwMw6Uum5SkksuIuPRA4L9mYftZAQb_J0AWfY86HUwnYNR749Gi-vYj2kCwQa1CAOiRgejfnwqrEaFaw/s887/desarr%20skt.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="466" data-original-width="887" height="282" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj4uM31NrNz2j4n6etrbGY1GK1OCHq_TUyj-xeeGkC-lyyfhJep-uhEg04GxECWvx4CPfRig8ea8jMAU6vlXt68jcmUFNplqQbGdrBXWMNuaaxwMw6Uum5SkksuIuPRA4L9mYftZAQb_J0AWfY86HUwnYNR749Gi-vYj2kCwQa1CAOiRgejfnwqrEaFaw/w536-h282/desarr%20skt.png" width="536" /></a></div><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi8ZfjTbF1ag0ttKojfDH4KMkmWaz6Bh08nT1gUAiNC312hwDPCdVpXDcMRe-ViBylDmZjbS0yvLZ89pN0FbVhCkm2QVKGo_2InDxie0cVEFwwsMUC8fhV3zL37AqeXOWG8ZA_GwuQQRxrAVjNkC7k-9ad87mknvmabc6yFCp8kEZiWid9D1NGaE12yng/s1068/1a.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="550" data-original-width="1068" height="262" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi8ZfjTbF1ag0ttKojfDH4KMkmWaz6Bh08nT1gUAiNC312hwDPCdVpXDcMRe-ViBylDmZjbS0yvLZ89pN0FbVhCkm2QVKGo_2InDxie0cVEFwwsMUC8fhV3zL37AqeXOWG8ZA_GwuQQRxrAVjNkC7k-9ad87mknvmabc6yFCp8kEZiWid9D1NGaE12yng/w508-h262/1a.jpg" width="508" /></a></div><br /><br /><br /><br /><h2>Giro de triángulos</h2><p><span face="Arial, Helvetica, sans-serif" style="background-color: white; font-size: 13px; line-height: 18px;">Mover los puntos ABCD para ver los casos distintos y particulares de un giro de 200º a la derecha (sentido horario) de un triángulo.</span> </p><br /><applet archive="geogebra.jar" code="geogebra.GeoGebraApplet" codebase="http://www.geogebra.org/webstart/3.2/unsigned/" height="438" mayscript="true" name="ggbApplet" title="Java" width="576"><br /><param name="ggbBase64" value="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" /><br /><param name="image" value="http://www.geogebra.org/webstart/loading.gif" /><br /><param name="boxborder" value="false" /><br /><param name="centerimage" value="true" /><br /><param name="java_arguments" value="-Xmx512m -Djnlp.packEnabled=true" /><br /><param name="cache_archive" value="geogebra.jar, geogebra_main.jar, geogebra_gui.jar, geogebra_cas.jar, geogebra_export.jar, geogebra_properties.jar" /><br /><param name="cache_version" value="3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0" /><br /><param name="framePossible" value="false" /><br /><param name="showResetIcon" value="false" /><br /><param name="showAnimationButton" value="true" /><br /><param name="enableRightClick" value="false" /><br /><param name="errorDialogsActive" value="true" /><br /><param name="enableLabelDrags" value="false" /><br /><param name="showMenuBar" value="false" /><br /><param name="showToolBar" value="false" /><br /><param name="showToolBarHelp" value="false" /><br /><param name="showAlgebraInput" value="false" /><br /><param name="allowRescaling" value="true" /><br />This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com<br /></applet><br /><br /><br />De centro, ángulo y sentido dado es un movimiento que desplaza el elemento con una distancia constante alrededor del centro.<br /><span style="font-weight: bold;"><br />Giro:</span> es una rotación aplicada bajo cierto ángulo desde un centro que transforma cada punto en otro de manera que la distancia del centro a ese punto es invariable. Si el ángulo de giro vale 180° tenemos una simetría central. El centro es el único elemento invariante salvo el giro identidad, por ejemplo el giro de una figura 360° o 0º.<br /><br /><br /><title>Producto_de_giros. - GeoGebra Hoja Dinámica</title><meta content="text/html; charset=utf-8" equiv="Content-Type"></meta><meta content="GeoGebra" name="generator"></meta><style type="text/css"><!--body { font-family:Arial,Helvetica,sans-serif; margin-left:40px }--></style><br /><table border="0" style="width: 621px;"><tbody><tr><td><h2>Producto de giros de mismo centro.</h2><p><br /></p><applet archive="geogebra.jar" code="geogebra.GeoGebraApplet" codebase="http://www.geogebra.org/webstart/3.2/unsigned/" height="380" mayscript="true" name="ggbApplet" title="Java" width="621"><br /><param name="ggbBase64" value="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" /><br /><param name="image" value="http://www.geogebra.org/webstart/loading.gif" /><br /><param name="boxborder" value="false" /><br /><param name="centerimage" value="true" /><br /><param name="java_arguments" value="-Xmx512m -Djnlp.packEnabled=true" /><br /><param name="cache_archive" value="geogebra.jar, geogebra_main.jar, geogebra_gui.jar, geogebra_cas.jar, geogebra_export.jar, geogebra_properties.jar" /><br /><param name="cache_version" value="3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0" /><br /><param name="framePossible" value="false" /><br /><param name="showResetIcon" value="false" /><br /><param name="showAnimationButton" value="true" /><br /><param name="enableRightClick" value="false" /><br /><param name="errorDialogsActive" value="true" /><br /><param name="enableLabelDrags" value="false" /><br /><param name="showMenuBar" value="false" /><br /><param name="showToolBar" value="false" /><br /><param name="showToolBarHelp" value="false" /><br /><param name="showAlgebraInput" value="false" /><br /><param name="allowRescaling" value="true" /><br />This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com<br /></applet><br />Mover los puntos ABCD para ver los distintos casos.<br /><br />Si giramos una figura desde un centro y luego otro ángulo añadido bajo el mismo centro, el resultado es un giro en el que se suman los dos ángulos. En el dibujo el triángulo se gira primero 120º (del rosa al azul) y luego 90º (del azul al verde) obteniendo el tercer triángulo que respecto al primero ha girado 210º, la suma de ambos.<br /><br /><span>Por tanto:<br /><br /><b>Producto de giros:</b></span> el producto de dos giros de ángulos o amplitudes distintas bajo un mismo centro es un giro de amplitud de ambos ángulos sumados bajo el mismo centro.<div><br /><br /><a href="http://1.bp.blogspot.com/_Hl3rKyJ-Xto/TLlSR0JWhJI/AAAAAAAAAa0/aCv_nplQ1do/s1600/gi1.jpg"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5528540483583116434" src="http://1.bp.blogspot.com/_Hl3rKyJ-Xto/TLlSR0JWhJI/AAAAAAAAAa0/aCv_nplQ1do/s320/gi1.jpg" style="cursor: pointer; float: left; height: 140px; margin: 0px 10px 10px 0px; width: 320px;" /><br />Giro de un triángulo ABC desde un centro O. El triángulo azul se transforma en el triángulo rojo mediante un giro de centro O. Para construirlo, hacemos centro en el punto O y tomando la distancia OC como radio, en el sentido hacia la derecha obtenemos el punto en su nueva posición C’ tras el giro indicado. En los demás puntos se opera de igual forma.</a></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /><br /><a href="http://4.bp.blogspot.com/_Hl3rKyJ-Xto/TLlSRhymdPI/AAAAAAAAAas/pj8qmLjNIhc/s1600/gi2.jpg"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5528540478655853810" src="http://4.bp.blogspot.com/_Hl3rKyJ-Xto/TLlSRhymdPI/AAAAAAAAAas/pj8qmLjNIhc/s320/gi2.jpg" style="cursor: pointer; float: left; height: 140px; margin: 0px 10px 10px 0px; width: 320px;" /></a>Giro a la izquierda del triángulo desde el c</div><div><br />entro O. Como todos los puntos giran el mismo ángulo, los sectores circulares que definen su arco son todos proporcionales.</div><div><br /></div><div><br /></div><br /><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /><br /><a href="http://4.bp.blogspot.com/_Hl3rKyJ-Xto/TLlSRvrWyVI/AAAAAAAAAak/UtrsbUwCgxQ/s1600/gi3.jpg"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5528540482383563090" src="http://4.bp.blogspot.com/_Hl3rKyJ-Xto/TLlSRvrWyVI/AAAAAAAAAak/UtrsbUwCgxQ/s320/gi3.jpg" style="cursor: pointer; float: left; height: 140px; margin: 0px 10px 10px 0px; width: 320px;" /></a>Giro a la izquierda del triángulo azul que se transforma tras el movimiento en el triángulo verde.</div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /><div><div><br /></div></div><div><br /></div><div><br /></div><div><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5706505471904625074" src="http://4.bp.blogspot.com/-3EPa3bDRD18/TzGUfgmysbI/AAAAAAAAEOA/XL5IUDi5F0I/s320/1--gi%2B3d.bmp" style="cursor: pointer; float: left; height: 210px; margin-bottom: 10px; margin-left: 0px; margin-right: 10px; margin-top: 0px; margin: 0px 10px 10px 0px; width: 320px;" /></div><div><p class="MsoNormal">Cuando una figura gira en un plano tenemos que sus puntos siguen una trayectoria en forma de circunferencia, girando todos el mismo ángulo en torno a un punto.</p><p class="MsoNormal">Cuando una figura gira en el espacio todos los puntos también giran el mismo ángulo pero cada punto gira sobre una circunferencia que es perpendicular al eje de giro y cuyo centro de giro está en el centro de esa circunferencia. </p> <p class="MsoNormal">Para calcular un giro de la figura C, que se apoya al igual que la cuña -de la que tomamos una arista como eje de giro- en el mismo plano, construimos el giro espacial de cada punto, de esta manera tomamos desde un punto A de la figura una recta m perpendicular al eje de giro y por el plano perpendicular al eje de giro que pasa por ambos puntos AP, trazamos la otra recta m’ que corresponde junto a la anterior m al ángulo girado m-m’, transformando A en A' mediante el giro. Hacemos lo mismo con los demás puntos y obtenemos la misma figura en su nueva posición tras el giro.</p><p class="MsoNormal"><br /></p><p class="MsoNormal"><a href="http://sistema-diedrico.blogspot.com/2010/11/giros.html">http://sistema-diedrico.blogspot.com/2010/11/giros.html</a> </p></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5706505480647455842" src="http://3.bp.blogspot.com/-NGxDfrRJLkw/TzGUgBLPtGI/AAAAAAAAEOM/3YAJL59dbNQ/s320/2--gi%2B3d%2B-3.bmp" style="cursor: pointer; float: left; height: 210px; margin-bottom: 10px; margin-left: 0px; margin-right: 10px; margin-top: 0px; margin: 0px 10px 10px 0px; width: 320px;" /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><p class="MsoNormal">Dados dos prismas, uno de color verde y otro en color amarillo, el de color amarillo es un prisma en forma de cuña que utilizamos una de sus rectas oblicuas (la hipotenusa del triángulo rectángulo de una de sus caras) como eje de giro. Ambos prismas están apoyados en un plano y el prisma de color verde se gira respecto al eje de giro siguiendo una trayectoria circular tal y como aparece en el dibujo. Si consideramos un punto del prisma verde, por ejemplo el número 10, gira respecto al eje según un círculo perpendicular al eje de giro, de esta manera aparecen en el dibujo cada 36° la figura como quedaría hasta cubrir la circunferencia completa (los 360°). En el dibujo se puede observar la posición del prisma al ser girado en ángulos iguales respecto al eje de rotación. Cada punto del prisma gira según una circunferencia cuyo plano es perpendicular al eje de giro.</p></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.blogger.com/video.g?token=AD6v5dzD4U4Aby8PUw2kXrwJ0ZJy-eYQQpqDG1CSxcmh0C8Uu8iynlEn7Od5RxRTvvzyKxniBqN1CsGzig6ZpTEDVQ' class='b-hbp-video b-uploaded' frameborder='0'></iframe><div><br /></div><div><p class="MsoNormal"><b>Giro en el espacio<o:p></o:p></b></p><p class="MsoNormal">Si la figura tridimensional se levanta del suelo tenemos un giro en el espacio, claramente la figura ya no se mueve en torno a un punto sino que lo hace en torno a una recta, cada punto describe un arco de circunferencia cuyo plano es perpendicular al eje de revolución. El giro de una figura espacial siempre es un giro en el espacio, y en este caso se ve más claro porque la figura apoyada en un plano se separa de él tras el giro respecto al eje de giro para volver al mismo plano.</p></div><div><p class="MsoNormal"><b><br /></b></p><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.blogger.com/video.g?token=AD6v5dz9ykNyX5y43fmzxc2ViZaIClmc4Zb-Uay0qA1ywUfFzCRi75D8gZiO_arYoq-LNayZJDTACGcywkgi7oO-QQ' class='b-hbp-video b-uploaded' frameborder='0'></iframe><div><br /></div><div><p class="MsoNormal"><b>Giro en el plano o giro en el espacio<o:p></o:p></b></p><p class="MsoNormal">Como podemos observar en la animación, un prisma que tiene una cara apoyada en un plano gira en torno a un centro que es el punto de tangencia donde se apoya la esfera. La figura, pese a ser un sólido tridimensional, gira en el plano y todos los puntos de la figura que están por encima de la base giran según un plano paralelo al anterior. Se entiende que los puntos de la cara superior están girando en un plano paralelo al del suelo y que por tanto cada punto obtiene su nuevo punto girado respecto a un centro de giro que está por encima del anterior, de lo cual hay que concluir que en realidad el giro de toda la figura se hace respecto a un eje vertical, no a un punto como se viene haciendo en un giro en el plano. En consecuencia, pese a que la base de la figura se mueve siguiendo un giro en el plano definido por el giro plano de la base, al ser una figura espacial que se mueve en torno a un eje en este caso vertical, tenemos que denominarlo giro en el espacio.</p></div><div><p class="MsoNormal"><b><br /></b></p></div></div></div></td></tr></tbody></table></td></tr></tbody></table><title>Giros distintos centros otro giro - GeoGebra Hoja Dinámica</title><meta content="text/html; charset=utf-8" equiv="Content-Type"></meta><meta content="GeoGebra" name="generator"></meta><style type="text/css"><!--body { font-family:Arial,Helvetica,sans-serif; margin-left:40px }--></style><br /><table border="0" style="width: 600px;"><tbody><tr><td><br /><h2>Giros de distintos centros generan otro giro: si giramos una primera figura obteniendo una segunda y ésta la giramos de nuevo desde otro centro obtenemos una tercera figura que puede obtenerse de la primera mediante un giro. Para calcular el centro de giro que transforma la primera en la tercera, hacemos los segmentos AA'' y CC'' y hacemos sus mediatrices, en la intersección de éstas está el centro de giro.</h2><br /><p><br /></p><br /><applet archive="geogebra.jar" code="geogebra.GeoGebraApplet" codebase="http://www.geogebra.org/webstart/3.2/unsigned/" height="407" mayscript="true" name="ggbApplet" title="Java" width="549"><br /> <param name="ggbBase64" value="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" /><br /> <param name="image" value="http://www.geogebra.org/webstart/loading.gif" /><br /> <param name="boxborder" value="false" /><br /> <param name="centerimage" value="true" /><br /> <param name="java_arguments" value="-Xmx512m -Djnlp.packEnabled=true" /><br /> <param name="cache_archive" value="geogebra.jar, geogebra_main.jar, geogebra_gui.jar, geogebra_cas.jar, geogebra_export.jar, geogebra_properties.jar" /><br /> <param name="cache_version" value="3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0" /><br /> <param name="framePossible" value="false" /><br /> <param name="showResetIcon" value="false" /><br /> <param name="showAnimationButton" value="true" /><br /> <param name="enableRightClick" value="false" /><br /> <param name="errorDialogsActive" value="true" /><br /> <param name="enableLabelDrags" value="false" /><br /> <param name="showMenuBar" value="false" /><br /> <param name="showToolBar" value="false" /><br /> <param name="showToolBarHelp" value="false" /><br /> <param name="showAlgebraInput" value="false" /><br /> <param name="allowRescaling" value="true" /><br />This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com<br /></applet><br /></td></tr></tbody></table><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><br />Dr. Néstor Martín Gulias, catedrático de dibujo técnicohttp://www.blogger.com/profile/03720592188547282148noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2150300824316885947.post-66614911412709310442010-10-16T00:19:00.004-07:002023-04-26T02:10:15.237-07:00Traslaciones<table border="0" style="width: 621px;"><tbody><tr><td><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgcWrLq2F0sszRMedTP8VdvINV8HbHQzcG4UpaauA1KYpJlbuLs9vIsiW6FhlU1a1dSZWpOV236OSQlSDl3eUWWi6U3rocmL2bo9ZZAAAxuBN64NHbwI1hDSIEil0PsxyGZSeI3FgOskH7AQV5tVlnaYzmwljkOn7BTUHbIDrkus1x1xdhbmDG5LPNAtA/s648/tras%20gir-gi.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="586" data-original-width="648" height="364" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgcWrLq2F0sszRMedTP8VdvINV8HbHQzcG4UpaauA1KYpJlbuLs9vIsiW6FhlU1a1dSZWpOV236OSQlSDl3eUWWi6U3rocmL2bo9ZZAAAxuBN64NHbwI1hDSIEil0PsxyGZSeI3FgOskH7AQV5tVlnaYzmwljkOn7BTUHbIDrkus1x1xdhbmDG5LPNAtA/w403-h364/tras%20gir-gi.png" width="403" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span id="docs-internal-guid-1ba9bcff-7fff-1782-8562-c6bc2fe59cf5"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: left;"><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">Si transformamos el trapezoide violeta mediante una traslación en el trapezoide verde y a continuación realizamos un giro de centro aleatorio F para obtener el trapezoide naranja, observamos que podemos transformar el trapezoide violeta en el naranja mediante un giro cuyo centro queda en la intersección de las mediatrices de las rectas que definen cada par de puntos de los lados las figuras transformadas.</span></p><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: left;"><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">Como consecuencia tenemos que el producto de una traslación y un giro es otro giro.</span></p><div><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;"><br /></span></div></span></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhMTzvA4QlVAlcaeCSM4DZrDXprER9I57sF9NzKD_E8qBX28i3_M17jJjsi1Jnf35FI_9botNghnKzi-OIbP-CsJ-EQvgjUTs1-xXS6zvkG72hU5KANizzM7_jiBx-1pdMnT6_c9V8NLO28xlkNPk6DPBw81eBAJIaDCAdVqLnb4tpOjojiQRozQkUztQ/s568/traslac-.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="554" data-original-width="568" height="362" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhMTzvA4QlVAlcaeCSM4DZrDXprER9I57sF9NzKD_E8qBX28i3_M17jJjsi1Jnf35FI_9botNghnKzi-OIbP-CsJ-EQvgjUTs1-xXS6zvkG72hU5KANizzM7_jiBx-1pdMnT6_c9V8NLO28xlkNPk6DPBw81eBAJIaDCAdVqLnb4tpOjojiQRozQkUztQ/w371-h362/traslac-.png" width="371" /></a></div><span id="docs-internal-guid-540f876a-7fff-161f-189f-14731f328758"><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">Si transformamos un triángulo en otro mediante una traslación y este último en otro, mediante otra traslación podemos observar que podremos transformar el primero en el tercero mediante otra traslación, en consecuencia se puede establecer que el producto de dos traslaciones es otra traslación.
</span></span><br /><h2><br /></h2><h2><br /></h2><h2>Traslación</h2><p><br /></p><applet archive="geogebra.jar" code="geogebra.GeoGebraApplet" codebase="http://www.geogebra.org/webstart/3.2/unsigned/" height="380" mayscript="true" name="ggbApplet" title="Java" width="621"><br /><param name="ggbBase64" value="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" /><br /><param name="image" value="http://www.geogebra.org/webstart/loading.gif" /><br /><param name="boxborder" value="false" /><br /><param name="centerimage" value="true" /><br /><param name="java_arguments" value="-Xmx512m -Djnlp.packEnabled=true" /><br /><param name="cache_archive" value="geogebra.jar, geogebra_main.jar, geogebra_gui.jar, geogebra_cas.jar, geogebra_export.jar, geogebra_properties.jar" /><br /><param name="cache_version" value="3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0" /><br /><param name="framePossible" value="false" /><br /><param name="showResetIcon" value="false" /><br /><param name="showAnimationButton" value="true" /><br /><param name="enableRightClick" value="false" /><br /><param name="errorDialogsActive" value="true" /><br /><param name="enableLabelDrags" value="false" /><br /><param name="showMenuBar" value="false" /><br /><param name="showToolBar" value="false" /><br /><param name="showToolBarHelp" value="false" /><br /><param name="showAlgebraInput" value="false" /><br /><param name="allowRescaling" value="true" /><br />This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com<br /></applet><br /><br /><br />Movimiento que desplaza cada punto según una dirección y sentido dados.<div><br /></div><div><br /><br />Traslaciones: si un vector se transforma en otro de manera que conserva la misma longitud, dirección y sentido, tenemos una traslación en la que ningún punto permanece invariante salvo que sea una traslación de identidad.<br /><br /><br /><title>Producto de traslaciones - GeoGebra Hoja Dinámica</title><meta content="text/html; charset=utf-8" equiv="Content-Type"></meta><meta content="GeoGebra" name="generator"></meta><style type="text/css"><!--body { font-family:Arial,Helvetica,sans-serif; margin-left:40px }--></style><br /><table border="0" style="width: 621px;"><tbody><tr><td><br /><h2>Producto de traslaciones</h2><p><br /></p><applet archive="geogebra.jar" code="geogebra.GeoGebraApplet" codebase="http://www.geogebra.org/webstart/3.2/unsigned/" height="380" mayscript="true" name="ggbApplet" title="Java" width="621"><br /><param name="ggbBase64" value="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" /><br /><param name="image" value="http://www.geogebra.org/webstart/loading.gif" /><br /><param name="boxborder" value="false" /><br /><param name="centerimage" value="true" /><br /><param name="java_arguments" value="-Xmx512m -Djnlp.packEnabled=true" /><br /><param name="cache_archive" value="geogebra.jar, geogebra_main.jar, geogebra_gui.jar, geogebra_cas.jar, geogebra_export.jar, geogebra_properties.jar" /><br /><param name="cache_version" value="3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0" /><br /><param name="framePossible" value="false" /><br /><param name="showResetIcon" value="false" /><br /><param name="showAnimationButton" value="true" /><br /><param name="enableRightClick" value="false" /><br /><param name="errorDialogsActive" value="true" /><br /><param name="enableLabelDrags" value="false" /><br /><param name="showMenuBar" value="false" /><br /><param name="showToolBar" value="false" /><br /><param name="showToolBarHelp" value="false" /><br /><param name="showAlgebraInput" value="false" /><br /><param name="allowRescaling" value="true" /><br />This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com<br /></applet><br /><br /><br /><b><br />Producto de traslaciones:</b> si aplicamos sucesivas traslaciones diremos que hacemos un producto de traslaciones, el producto de dos traslaciones es otra traslación.<br /><br /><a href="http://1.bp.blogspot.com/_Hl3rKyJ-Xto/TLlSGlKzXMI/AAAAAAAAAac/5ntiQqmsN6U/s1600/identidad1.jpg"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5528540290584108226" src="http://1.bp.blogspot.com/_Hl3rKyJ-Xto/TLlSGlKzXMI/AAAAAAAAAac/5ntiQqmsN6U/s320/identidad1.jpg" style="cursor: pointer; float: left; height: 140px; margin: 0px 10px 10px 0px; width: 320px;" /></a>Para trasladar una figura necesitamos saber la dirección que sigue el movimiento y el sentido del mismo, junto con la longitud del desplazamiento.<br />Una figura obtenida de otra por traslación es una figura idéntica a la original en la que los segmentos homólogos se cortan en puntos de la recta del infinito (la dirección de cada lado de la figura que se ha trasladado) y los puntos <a href="http://homologias.blogspot.com/">homólogos</a> están alineados con un centro de proyección en el infinito que es la dirección del desplazamiento, por lo que tenemos una <a href="http://homologias.blogspot.com/2010/10/homotecia-afin.html">homotecia afín</a>.<br /><br /><br /></td></tr></tbody></table></div></td></tr></tbody></table><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><a href="http://3.bp.blogspot.com/-kiNiw66kLHQ/T3gKdpLemgI/AAAAAAAAERw/KItyGkd6CYI/s1600/giro_y_traslaci%25C3%25B3n.jpg"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5726338430588066306" src="http://3.bp.blogspot.com/-kiNiw66kLHQ/T3gKdpLemgI/AAAAAAAAERw/KItyGkd6CYI/s320/giro_y_traslaci%25C3%25B3n.jpg" style="cursor: pointer; float: left; height: 198px; margin: 0px 10px 10px 0px; width: 320px;" /></a><br />Dadas tres rectas, (en el dibujo en color rojo), dos de ellas paralelas y un triángulo ABC, (en el dibujo en color rosa), se trata de realizar las transformaciones pertinentes para que la figura se convierta en un triángulo cuyos vértices incidan sobre las tres rectas. Trasladamos la figura dada en una dirección cualquiera hasta transformar el segmento CB en el segmento GH, para ello hacemos una recta por el vértice B con una dirección cualquiera hasta que corta a la recta EM en el punto G, por éste hacemos una recta paralela a la recta CB hasta que corte a la recta paralela a GB que pasa por C. Tenemos de esta forma el segmento trasladado GH con su base sobre la recta roja y lo giramos tomando como centro G hasta que corte a la recta DF en el punto I. Hemos por tanto trasladado el triángulo rosa y hemos girado su lado CB hasta obtener su nuevo lado IG a partir del cual construimos el triángulo equilátero IGJ. A partir de ahora sólo hay que trasladar este triángulo de color verde en la dirección de las rectas paralelas dadas, para ello hacemos una recta paralela por J a la recta FD hasta que corte a la recta DE, obteniendo de esta forma el punto K. Por este punto K hacemos dos los paralelas KL KM a los lados JG JI del triángulo verde obteniendo los otros dos puntos M L del triángulo azul buscado.<br /><br /><br /><br /><title>giro y traslación - GeoGebra Hoja Dinámica</title><br /><meta content="text/html; charset=utf-8" equiv="Content-Type"></meta><br /><meta content="GeoGebra" name="generator"></meta><br /><style type="text/css"><!--body { font-family:Arial,Helvetica,sans-serif; margin-left:40px }--></style><br /><br /><br /><br /><table border="0" style="width: 600px;"><tbody><tr><td><br /><h2>giro y traslación</h2><br /><p><br /></p><br /><br /><br /><applet archive="geogebra.jar" code="geogebra.GeoGebraApplet" codebase="http://www.geogebra.org/webstart/3.2/unsigned/" height="512" mayscript="true" name="ggbApplet" width="563"><br /> <param name="ggbBase64" value="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" /><br /> <param name="image" value="http://www.geogebra.org/webstart/loading.gif" /><br /> <param name="boxborder" value="false" /><br /> <param name="centerimage" value="true" /><br /> <param name="java_arguments" value="-Xmx512m -Djnlp.packEnabled=true" /><br /> <param name="cache_archive" value="geogebra.jar, geogebra_main.jar, geogebra_gui.jar, geogebra_cas.jar, geogebra_export.jar, geogebra_properties.jar" /><br /> <param name="cache_version" value="3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0" /><br /> <param name="framePossible" value="false" /><br /> <param name="showResetIcon" value="false" /><br /> <param name="showAnimationButton" value="true" /><br /> <param name="enableRightClick" value="false" /><br /> <param name="errorDialogsActive" value="true" /><br /> <param name="enableLabelDrags" value="false" /><br /> <param name="showMenuBar" value="false" /><br /> <param name="showToolBar" value="false" /><br /> <param name="showToolBarHelp" value="false" /><br /> <param name="showAlgebraInput" value="false" /><br /> <param name="allowRescaling" value="true" /><br />This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com<br /></applet><br /></td></tr></tbody></table>Dr. Néstor Martín Gulias, catedrático de dibujo técnicohttp://www.blogger.com/profile/03720592188547282148noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2150300824316885947.post-10296986396858393852010-10-16T00:18:00.016-07:002023-04-26T02:02:10.567-07:00Simetrías<table border="0" style="font-size: 100%; width: 746px;"><tbody>
<tr><td><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-size: x-large;"><b>Simetrías</b></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-size: x-large;"><b><br /></b></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-size: x-large;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgDDoHtZQgo7ney1NkgOFbAWaT8CrbZcG-ItmppZldmlWc5lLd2Fkw2NNI4Y4hUD9c0VuobzpbRruhq0xGtaXUXd-10bunv_ocuYOGbnACKXdC6JWYTe1h-o7CIrgP97tEzjLRuxt2YQmEyvMtTcj0Ffa8IeSFcj--qPH_0PPYk17e-91KSAWa5yTTeaQ/s916/produc%20si.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="644" data-original-width="916" height="310" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgDDoHtZQgo7ney1NkgOFbAWaT8CrbZcG-ItmppZldmlWc5lLd2Fkw2NNI4Y4hUD9c0VuobzpbRruhq0xGtaXUXd-10bunv_ocuYOGbnACKXdC6JWYTe1h-o7CIrgP97tEzjLRuxt2YQmEyvMtTcj0Ffa8IeSFcj--qPH_0PPYk17e-91KSAWa5yTTeaQ/w441-h310/produc%20si.png" width="441" /></a></div><span id="docs-internal-guid-eca82b48-7fff-56b1-2e96-17c4a246fa67"><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: left;"><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">A la izquierda, si hacemos la simétrica del triángulo ocre obtenemos el triángulo verde, si volvemos a hacer la simétrica del triángulo verde respecto a un eje obtenemos el triángulo violeta. Como podemos observar en el dibujo al aplicar dos simetrías axiales podemos transformar la primera a la tercera figura mediante un giro, por lo que podemos establecer que el producto de dos simetrías de ejes concurrentes es en realidad un giro como resultado final.</span></p><p dir="ltr" style="line-height: 1.38; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: left;"><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">A la derecha observamos como los ejes dejan de ser concurrentes y por tanto son paralelos, en consecuencia tenemos que el triángulo azul se transforma por simetría en el triángulo ocre y por otra simetría axial éste último se transforma en el rojo, el resultado final o producto obtenido es un triángulo rojo en el último caso en el que se transforma a partir del primero mediante una traslación, por tanto el producto de dos simetrías de ejes paralelos podemos decir que es una traslación.</span></p><div><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;"><br /></span></div></span><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhU_XB-xyDeNjpXy4JDLsPNopDVoodngSzxM8qpDVARPcXDgUWgaXavJ24CspJXAvowI0y0pZWX6_CfXROB4y0DeVrM3R7weRCbVjjXPfcNKnMlgGboEtHbQexddZYoQiB_aXJTm0aizQHdQ_DVynP2JrJryDIn2pk0YjMaEKZ5AD21PEaczdEb2565BA/s624/si%20de%20ejes%20concurrentes.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="536" data-original-width="624" height="361" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhU_XB-xyDeNjpXy4JDLsPNopDVoodngSzxM8qpDVARPcXDgUWgaXavJ24CspJXAvowI0y0pZWX6_CfXROB4y0DeVrM3R7weRCbVjjXPfcNKnMlgGboEtHbQexddZYoQiB_aXJTm0aizQHdQ_DVynP2JrJryDIn2pk0YjMaEKZ5AD21PEaczdEb2565BA/w420-h361/si%20de%20ejes%20concurrentes.png" width="420" /></a></div><span id="docs-internal-guid-a8325326-7fff-1854-8422-3352d05b81b0"><div style="text-align: left;"><span id="docs-internal-guid-6f3428a4-7fff-5aac-970b-3731f0bd6fe6"><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">Podemos observar que mediante una simetría axial transformamos el cuadrado verde en el violeta y mediante otra simetría axial transformamos el violeta en el rojo, por tanto verificamos que el producto de dos simetrías axiales de ejes concurrentes provocan un giro cuyo centro es la intersección de los dos ejes de simetría, ya que podemos transformar el cuadrado verde en el rojo mediante un giro, tal y como observamos en el dibujo.</span></span></div><div style="text-align: left;"><span id="docs-internal-guid-3180c32d-7fff-5aae-6ad6-7665d8e481ea"><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">El producto de dos simetrías de ejes concurrentes es un giro cuyo centro es la intersección de los ejes.</span></span></div></span><b><br /></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://2.bp.blogspot.com/-p4IatWssYj4/VNFQL7QaRYI/AAAAAAAAIZw/1gGOJjN07X0/s1600/simetr%C3%ADas-.bmp" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="166" src="https://2.bp.blogspot.com/-p4IatWssYj4/VNFQL7QaRYI/AAAAAAAAIZw/1gGOJjN07X0/s1600/simetr%C3%ADas-.bmp" width="640" /></a></div>
<br />
<div class="MsoNormal">
Una secuencia de números: 1
1 2 3 5 8
13 21 llamada de Fibonacci, es la que se obtiene
cada número sumando los dos anteriores, esta relación entre los números aparece
por doquier en la naturaleza, en los pétalos de una flor, en las conchas de los
moluscos y caracoles, en espirales de crecimiento exponencial, en el
crecimiento de las hojas a través de el tallo de una planta, etc. Es una serie
que se tiene en la suma de los dos últimos números, empezamos por el uno, lo
repetimos, y tenemos que su suma es dos, sumamos estos dos últimos, 2 + 1 igual
a tres, volvemos a sumar los dos últimos, 3 + 2 igual a cinco, y así
sucesivamente.</div>
<div class="MsoNormal">
Esta relación entre cada par de números que escojamos de la
serie aparece continuamente en la naturaleza, en los tallos de ciertas plantas,
en los pétalos de las flores, en una estrella de mar, en una galaxia espiral,
detrás de la sucesión se esconde otro número, un número áureo y es aquel que sintetiza
la belleza de lo que nos rodea, un número cuyo valor es 1,618033, es el llamado
número de oro, además es el resultado de dividir dos números cualesquiera de la
serie anterior, cuanto más altos sean los números de la serie que escojamos,
más nos aproximamos a ese número de oro.</div>
<div class="MsoNormal">
Muchas medidas de la naturaleza guardan esa relación, por
ejemplo nuestra altura dividido entre la distancia del suelo hasta el ombligo
da como cociente el número de oro, el ángulo áureo sale al representar estos
dos segmentos en una circunferencia: describe
el orden de las hojas de una palmera, de las pipas de un girasol, de las
escamas de una piña, del cociente entre los lados de la espiral del agua que se
vierte por el desagüe del lavabo, etc.</div>
<div class="MsoNormal">
Nuestro mundo es pura geometría a todas las escalas, es el
lenguaje matemático del universo, de la belleza.</div>
<div class="MsoNormal">
La simetría es el lenguaje de la naturaleza, el abejorro del
jardín puede distinguir las formas simétricas de las flores y es atraído por
ellas y es más probable que tengan alimento las flores más simétricas, y estas
son las que propagan mejor el polen, estas flores que son más simétricas atraen
mejor a las abejas. Las personas también
son atraídas por rostros más simétricos, un rostro simétrico es un detalle que
nos da información acerca de un buen ADN y de un buen proceso de desarrollo, lo
que comunica que somos una buena pareja si tenemos unas facciones simétricas.</div>
<div class="MsoNormal">
Hay simetría en las rocas, en los objetos naturales, en el
universo, la simetría es eficaz, una pompa de jabón es esférica, es eficaz,
tiene un bajo consumo energético, la esfera es el cuerpo más simétrico, sirve
para compactar objetos y darles fuerza, un cráneo tiende a ser esférico para
ser más resistente a los golpes. Los diamantes son resistentes por que el
carbono está dispuesto en forma de tetraedro, y esa simetría es enormemente
resistente ya que el tetraedro regular tiene un amplio número de simetrías. Los
virus son simétricos para una mejor replicación, el virus puede realizar muchas
copias de sí mismo y la simetría se lo facilita.</div>
<div class="MsoNormal">
Los diagramas son estructuras con organizaciones casi
siempre simétricas, son elementos que condensan ideas científicas, por ejemplo
el diagrama de Copérnico sobre el sistema heliocéntrico, el sol en el centro
del universo fue una idea revolucionaria, Copérnico simplemente trasladó la
idea con un diagrama muy simple, demostrando que los hombres no son el centro
del universo, el diagrama del principio del libro lleno de fórmulas lo resume
todo lo que es el sistema del universo descubierto por Nicolás Copérnico.</div>
<div class="MsoNormal">
Un diagrama plasma una idea, ello sirve para descubrir los
patrones de un mundo aparentemente caótico, el orden dentro del caos, las
imágenes que nos muestran los diagramas trascienden las culturas, son un
lenguaje universal que se puede entender en cualquier lado del universo.</div>
<div class="MsoNormal">
Un número primo es un número indivisible, todos los números
se forman multiplicando los primos entre sí, 3 × 5 × 7 es igual a 105. Esto es
un patrón, aunque no conocemos una fórmula que nos facilite obtener cualquier
número primo.</div>
<div class="MsoNormal">
Un número primo es aquel que al dividirlo por otro da un
número fraccionario, excepto si lo divides por un número igual o por el uno.</div>
<div class="MsoNormal">
Los primos son a los números como los átomos a la materia,
al igual que cualquier cosa se puede dividir en átomos, cualquier número se
puede dividir en números primos.</div>
<div class="MsoNormal">
No existe una fórmula matemática para saber cuál será el
siguiente número primo en una serie. No existe una regla como la serie de
Fibonacci, aunque sabemos que existen infinitos números primos, Euclides lo
demostró. </div>
<div class="MsoNormal">
Las matemáticas consisten en la búsqueda de patrones,
seguramente hay algún patrón en los números primos, pero a fecha de hoy es un
misterio. Hay patrones energéticos en los átomos grandes como los del uranio,
que comparten propiedades con los patrones de los números primos, es un patrón
marcado que no puede ser una coincidencia, las matemáticas de la física
cuántica puede que nos hagan descubrir el secreto de los números primos. Ello
podría tener consecuencias devastadoras para Internet, para la criptografía de
Internet, ya que algunas propiedades de los números primos encriptan claves de
las tarjetas.</div>
<div class="MsoNormal">
La palabra simetría proviene del griego y significa
mensurado, adecuado, proporcionado, de proporción apropiada, de medida
conveniente también en el momento oportuno, e indica la posición que ocupan las
partes de un todo entre sí. La simetría está dada por la relación bella de una
parte como de las partes con el todo. Su expresión manifiesta se encuentra en
la repetición regular de motivos y circunstancias similares o iguales, parecidas
o afines. La simetría provee la base natural para un ordenamiento sistemático
de la variedad de todas las formas. Para evidenciar la simetría se utilizan
operaciones de superposición, por medio de estas operaciones o movimientos, las
cosas cuya simetría se desea analizar se superponen consigo mismas mediante
cambios de posición. Para el estudio de la simetría se utiliza en forma análoga
al álgebra, los recursos de las matemáticas como la teoría de grupos, de
acuerdo con sus métodos la simetría estructura y clasifica la variedad de
posibles formas efectivas teniendo en cuenta su clase y cantidad, la teoría de
grupos de transformaciones busca invariantes o elementos invariables dentro de
las transformaciones, son patrones que definen la estructura del grupo.</div>
<div class="MsoNormal">
Los verdaderos órganos de simetría son aquellas figuras
geométricas que producen operaciones de superposición, por ejemplo en el octavo
no regular, la recta perpendicular a un plano que pasa por el centro de la
figura es un órgano de simetría, eje de rotación de orden ocho denotado con el
símbolo D8.</div>
<div class="MsoNormal">
Existen numerosas operaciones de superposición y composición
que estructuran las simetrías, por ejemplo, la identidad es la representación
invariable de un objeto sobre sí mismo, con objetos que se transforman en sí
mismo, la traslación es un corrimiento simple bajo una dirección dada en línea
recta, la rotación es el giro de un cuerpo alrededor de un punto si es en el
plano y un eje si es en el espacio, la reflexión puede ser central o axial
dependiendo de si el objeto mantiene sus distancias en cada uno de sus puntos
respecto a un centro o respecto a un eje. Existe una reflexión especular en el
espacio respecto un plano. Una simetría radial es aquella que se engendra al
girar un elemento en torno a un centro. Una rotación por traslación es aquella
que engendra un punto de una hélice, una recta acoplada a ese punto genera un helizoide.
Podemos componer todos estos elementos y principios geométricos obteniendo
nuevas simetrías, por ejemplo una reflexión +1 traslación, un giro +1
traslación, una simetría +1 giro, etc. </div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<o:p> </o:p><span style="font-size: 100%;"> </span></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<br />
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<br />
<br />
<h2>
Simetría central</h2>
Mover los puntos ABCD para ver los casos distintos y particulares.<br />
<br />
<br />
<applet archive="geogebra.jar" code="geogebra.GeoGebraApplet" codebase="http://www.geogebra.org/webstart/3.2/unsigned/" height="558" mayscript="true" name="ggbApplet" title="Java" width="746"><br /><param name="ggbBase64" value="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" /><br /><param name="image" value="http://www.geogebra.org/webstart/loading.gif" /><br /><param name="boxborder" value="false" /><br /><param name="centerimage" value="true" /><br /><param name="java_arguments" value="-Xmx512m -Djnlp.packEnabled=true" /><br /><param name="cache_archive" value="geogebra.jar, geogebra_main.jar, geogebra_gui.jar, geogebra_cas.jar, geogebra_export.jar, geogebra_properties.jar" /><br /><param name="cache_version" value="3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0" /><br /><param name="framePossible" value="false" /><br /><param name="showResetIcon" value="false" /><br /><param name="showAnimationButton" value="true" /><br /><param name="enableRightClick" value="false" /><br /><param name="errorDialogsActive" value="true" /><br /><param name="enableLabelDrags" value="false" /><br /><param name="showMenuBar" value="false" /><br /><param name="showToolBar" value="false" /><br /><param name="showToolBarHelp" value="false" /><br /><param name="showAlgebraInput" value="false" /><br /><param name="allowRescaling" value="true" /><br />This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com</applet><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<div>
<b>Simetría central:</b> 2 puntos A-A’ son simétricos respecto a un 3º punto O cuando al trazar una recta que pasa por los 3 se tiene OA= OA’. Un ejemplo práctico de simetrías es el que se produce en los<a href="http://calculo-de-reflejos.blogspot.com/"> espejos</a>.<br />
<br />
<title>Simetría axial - GeoGebra Hoja Dinámica</title><style type="text/css"><!--body { font-family:Arial,Helvetica,sans-serif; margin-left:40px }--></style><br />
<table border="0" style="width: 600px;"><tbody>
<tr><td><br />
<h2>
Simetría axial</h2>
Mover los puntos ABCDE para ver los casos distintos y particulares. <br />
<br />
<applet archive="geogebra.jar" code="geogebra.GeoGebraApplet" codebase="http://www.geogebra.org/webstart/3.2/unsigned/" height="438" mayscript="true" name="ggbApplet" title="Java" width="576"><br /><param name="ggbBase64" value="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" /><br /><param name="image" value="http://www.geogebra.org/webstart/loading.gif" /><br /><param name="boxborder" value="false" /><br /><param name="centerimage" value="true" /><br /><param name="java_arguments" value="-Xmx512m -Djnlp.packEnabled=true" /><br /><param name="cache_archive" value="geogebra.jar, geogebra_main.jar, geogebra_gui.jar, geogebra_cas.jar, geogebra_export.jar, geogebra_properties.jar" /><br /><param name="cache_version" value="3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0" /><br /><param name="framePossible" value="false" /><br /><param name="showResetIcon" value="false" /><br /><param name="showAnimationButton" value="true" /><br /><param name="enableRightClick" value="false" /><br /><param name="errorDialogsActive" value="true" /><br /><param name="enableLabelDrags" value="false" /><br /><param name="showMenuBar" value="false" /><br /><param name="showToolBar" value="false" /><br /><param name="showToolBarHelp" value="false" /><br /><param name="showAlgebraInput" value="false" /><br /><param name="allowRescaling" value="true" /><br />This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com</applet><br />
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<b>Simetrías:</b><br />
<b>La simetría axial</b> transforma un punto en otro punto respecto a una recta llamada eje de manera que el segmento que une los dos puntos simétricos es perpendicular al mismo, y ambos puntos están a la misma distancia del eje de simetría. La simetría es un desplazamiento inverso en la que todos los puntos del eje son invariantes.<br />
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<b>La simetría central </b>transforma un punto en otro punto respecto a un centro fijo, de manera que la distancia de ese punto al centro es igual que la distancia del centro al simétrico de ese punto.</div>
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<b>Producto de simetrías axiales:</b> el producto de dos simetrías axiales respecto a ejes paralelos es una traslación del primer elemento al que se aplica la primera simetría. Si se aplica un producto de simetrías axiales en el que se cortan los ejes de simetría, tenemos un giro cuyo centro es el punto de corte de ambos ejes de simetría, siendo la amplitud o ángulo de ese giro el doble del ángulo entre ambos ejes.</div>
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La simétrica central de una recta m es siempre paralela a ella: m'.<br />
Para trazar la simétrica central de una figura, basta con unir cada punto de ella: A, con el centro de simetría O mediante una recta y situar sobre la misma a igual distancia su simétrico A', de manera que O quede en el centro de AA'.<br />
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<a href="http://2.bp.blogspot.com/_Hl3rKyJ-Xto/TLqSZ_FGiJI/AAAAAAAAAdM/7NLdPZygrx0/s1600/si1.jpg"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5528892467677923474" src="https://2.bp.blogspot.com/_Hl3rKyJ-Xto/TLqSZ_FGiJI/AAAAAAAAAdM/7NLdPZygrx0/s320/si1.jpg" style="cursor: hand; float: left; height: 140px; margin: 0px 10px 10px 0px; width: 320px;" /></a></div>
Un polígono irregular se transforma en otro m</div>
<div>
ediante una simetría central. Cada punto A y su simétrico A’ dejan al centro de la simetría O en el punto medio y cada recta se transforma en su simétrica manteniendo el paralelismo. El segmento m se transforma en el segmento m’ y tras aplicar la simetría ambos permanecen paralelos.<br />
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<a href="http://3.bp.blogspot.com/_Hl3rKyJ-Xto/TLlR8APP0RI/AAAAAAAAAaM/ws5gYGP6Sbc/s1600/si2.jpg"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5528540108871946514" src="https://3.bp.blogspot.com/_Hl3rKyJ-Xto/TLlR8APP0RI/AAAAAAAAAaM/ws5gYGP6Sbc/s320/si2.jpg" style="cursor: hand; float: left; height: 140px; margin: 0px 10px 10px 0px; width: 320px;" /></a></div>
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Triángulo rojo simétrico del verde desde el centro O. Para calcular una figura simétrica central, se une el punto A con el centro de simetría O mediante un segmento que prolongamos. Tomamos la distancia OA como radio, haciendo centro en el punto O hacemos un arco hasta que corte a su prolongación en el punto A’. El pu</div>
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nto A’es el simétrico de A respecto al centro O. Con los demás puntos se opera de igual forma.</div>
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<a href="http://2.bp.blogspot.com/_Hl3rKyJ-Xto/TLlR7sSk-yI/AAAAAAAAAaE/X0qiJujFW28/s1600/si3.jpg"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5528540103517207330" src="https://2.bp.blogspot.com/_Hl3rKyJ-Xto/TLlR7sSk-yI/AAAAAAAAAaE/X0qiJujFW28/s320/si3.jpg" style="cursor: hand; float: left; height: 140px; margin: 0px 10px 10px 0px; width: 320px;" /></a>La figura simétrica central de otra que es la misma figura original girada 180° tomando el centro de simetría como centro de giro. </div>
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<a href="http://1.bp.blogspot.com/_Hl3rKyJ-Xto/TLlR7bacrLI/AAAAAAAAAZ8/VoAPFjLWiYY/s1600/si4.jpg"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5528540098986814642" src="https://1.bp.blogspot.com/_Hl3rKyJ-Xto/TLlR7bacrLI/AAAAAAAAAZ8/VoAPFjLWiYY/s320/si4.jpg" style="cursor: hand; float: left; height: 140px; margin: 0px 10px 10px 0px; width: 320px;" /></a>Triángulos simétricos respecto al centro O. </div>
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<a href="http://3.bp.blogspot.com/_Hl3rKyJ-Xto/TLlR7DxfqxI/AAAAAAAAAZ0/VMJ2R6YiVDs/s1600/si5.jpg"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5528540092641028882" src="https://3.bp.blogspot.com/_Hl3rKyJ-Xto/TLlR7DxfqxI/AAAAAAAAAZ0/VMJ2R6YiVDs/s320/si5.jpg" style="cursor: hand; float: left; height: 140px; margin: 0px 10px 10px 0px; width: 320px;" /></a>Trapezoide simétrico de otro respecto al centro P.</div>
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<a href="http://2.bp.blogspot.com/_Hl3rKyJ-Xto/TLqOjMapTBI/AAAAAAAAAdE/UoE5eiJbQfQ/s1600/simetria+a+xial.jpg"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5528888227830254610" src="https://2.bp.blogspot.com/_Hl3rKyJ-Xto/TLqOjMapTBI/AAAAAAAAAdE/UoE5eiJbQfQ/s320/simetria+a+xial.jpg" style="cursor: hand; float: left; height: 140px; margin: 0px 10px 10px 0px; width: 320px;" /></a><b>Simetría axial:</b> 2 puntos A A' son simétricos respecto a una recta (eje de simetría) cuando al unirlos resulta una perpendicular a los mismos (en verde) y el punto medio del segmento perpendicu</div>
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lar está sobre la recta llamada eje. 2 figuras simétricas axiales (en rojo y ocre) son inversamente iguales, esto es, de sentido contrario.</div>
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<a href="http://3.bp.blogspot.com/--WGrS1lm_8U/TogsQYTXjHI/AAAAAAAADRs/5lBsmEmQJXk/s1600/simetr%C3%83%C2%ADa.jpg"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5658821591704243314" src="https://3.bp.blogspot.com/--WGrS1lm_8U/TogsQYTXjHI/AAAAAAAADRs/5lBsmEmQJXk/s320/simetr%25C3%25ADa.jpg" style="cursor: hand; float: left; height: 142px; margin: 0px 10px 10px 0px; width: 320px;" /></a></div>
En la figura observamos los <b>dos tipos de simetrías planas</b> que existen: a la derecha un trapezoide amarillo tiene por simétrico a otro de color rojo. Observamos que cada punto tiene su homólogo a igual distancia respecto al eje de simetría, por tanto su imagen está sobre la recta perpendicular al eje y a igual distancia del eje de simetría.<br />
En el caso de la simetría central (en la figura de la izquierda) tenemos que cada punto del trapezoide ABCD tiene por simétrico a otro que está a igual distancia respecto al centro de simetría O. Se tiene además que cada par de puntos simétricos A A’ están alineados siempre con el centro de simetría O, por lo que se puede hacer una circunferencia cuyo centro O sea el de simetría y cada par de puntos simétricos forman parte de los polos opuestos de cada diámetro de la circunferencia que definen ambas puntos simétricos.</div>
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Observamos que podemos obtener una figura respecto de la otra por un simple giro de 180°, se puede comprobar también que el paralelismo resulta invariable, los lados de la figura tienen sus lados simétricos paralelos (por ejemplo, el lado AB que es paralelo al lado A’B’).</div>
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<b>Ejercicio resuelto por simetría:</b><br />
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<a href="http://2.bp.blogspot.com/-ZytV-aUwxns/Tsquj06SvzI/AAAAAAAADXQ/W4zHqrIOlKg/s1600/simetr.jpg"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5677542210775727922" src="https://2.bp.blogspot.com/-ZytV-aUwxns/Tsquj06SvzI/AAAAAAAADXQ/W4zHqrIOlKg/s320/simetr.jpg" style="cursor: pointer; float: left; height: 144px; margin-bottom: 10px; margin-left: 0px; margin-right: 10px; margin-top: 0px; margin: 0px 10px 10px 0px; width: 320px;" /></a><br />
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Se trata de calcular la distancia más corta entre los dos puntos A B pero tocando la recta e.</div>
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Un ejemplo práctico podría ser el cálculo sobre un plano de la distancia más corta entre dos puntos del desierto A B pero desviándonos hacia una recta e que representa un río en el que hay que coger agua.</div>
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Para desplazarnos desde el punto B hasta el punto A tocando a la recta e, consideramos ésta como el eje de simetría y calculamos el punto simétrico de A, que es A'. Alineamos A' con B y en el punto de intersección P hacemos una recta hasta A. la línea poligonal BPA es la distancia más corta entre dos puntos AB tocando a la recta e, ya que BA' es una línea recta, la distancia más corta entre dos puntos, y PA=PA', por lo que BA'=BA.</div>
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Otro ejemplo de simetrías lo tenemos en la reflexión de los objetos: un objeto reflejado es el simétrico del original: <a href="http://calculo-de-reflejos.blogspot.com/">cálculo de reflejos.</a></div>
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<img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5706507695427151554" src="https://2.bp.blogspot.com/-KgN3sryKFmc/TzGWg7335sI/AAAAAAAAEOk/6BirM0Ysm6U/s320/2.bmp" style="cursor: pointer; float: left; height: 240px; margin-bottom: 10px; margin-left: 0px; margin-right: 10px; margin-top: 0px; margin: 0px 10px 10px 0px; width: 320px;" /></div>
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<b>Superficie reflectante </b><br />
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<div class="MsoNormal">
Existe una simetría espacial entre los elementos que se reflejan en una superficie reflectante: aparte de proyectar las sombras desde una luz puntual que provoca que las sombras de los segmentos verticales no sean paralelas, la figura refleja los elementos interiores como prismas, de esta forma tenemos que la simétrica espacial del punto C es el punto C’. Aparte de reflejar los prismas, también refleja las sombras y la luz: la sombra B que arroja el prisma más pequeño se proyecta mediante una simetría espacial teniendo como imagen el punto B’. De la misma forma la sombra proyectada que pasa por el punto D obtiene su imagen simétrica sobre la cara del prisma vertical en el punto D’. Para obtener por tanto la reflexión de todos los elementos, basta con proyectar punto por punto sobre el plano reflectante, de manera que la distancia del punto A al plano de reflexión es igual que la distancia del plano de reflexión al punto reflejado A’. </div>
<div class="MsoNormal">
La tonalidad de las reflexiones tiene un valor más oscuro allí donde hay sombra (eso quiere decir que sobre las zonas de luz se definen menos los elementos reflejados), de la misma manera la reflexión es más intensa si se superpone a la oscuridad de la sombra propia del objeto.</div>
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<img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5706507692137129442" src="https://4.bp.blogspot.com/-UcwvgrIh9hY/TzGWgvneJeI/AAAAAAAAEOY/OHlXrbD8gF4/s320/si%2B3d.bmp" style="color: #0000ee; cursor: pointer; float: left; height: 210px; margin-bottom: 10px; margin-left: 0px; margin-right: 10px; margin-top: 0px; margin: 0px 10px 10px 0px; text-decoration: underline; width: 320px;" /><br />
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<b>Simetría espacial.</b></div>
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<div class="MsoNormal">
En una simetría plana los elementos obtienen su imagen sobre el mismo plano, siendo el eje la mediatriz del segmento que une cada punto y su simétrico. En la simetría espacial, cada elemento tiene su simétrico a igual distancia pero en vez de ser respecto una recta lo es respecto a un plano. Como podemos observar en el dibujo el prisma orientado en posición oblicua respecto al plano verde g se proyecta punto por punto a igual distancia por debajo del plano que por encima, de esta forma se obtiene su figura inversa por debajo del plano, que es su simétrica en el espacio. De esta forma el punto A se transforma en A’, B se transforma en B’, siendo la recta A-A’ perpendicular al plano y estando éste situado en el punto medio Ac del segmento A-A’. Como podemos observar si el plano verde continuara y fuera un espejo, su reflexión sería la figura que se ve proyectada abajo.</div>
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</td></tr>
</tbody></table>
</div>
</td></tr>
</tbody></table>
<title>2 sime centrales es traslación - GeoGebra Hoja Dinámica</title><style type="text/css"><!--body { font-family:Arial,Helvetica,sans-serif; margin-left:40px }--></style><br />
<table border="0" style="font-size: 100%; width: 600px;"><tbody>
<tr><td><br />
<h2>
Dos simetrías centrales con distinto centro es una traslación: dos simetrías centrales que transforman una figura primera en otra segunda y ésta en otra tercera, la primera se puede transformar en la tercera mediante una traslación.</h2>
<br />
<applet archive="geogebra.jar" code="geogebra.GeoGebraApplet" codebase="http://www.geogebra.org/webstart/3.2/unsigned/" height="407" mayscript="true" name="ggbApplet" title="Java" width="549"><br /><param name="ggbBase64" value="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" /><br /><param name="image" value="http://www.geogebra.org/webstart/loading.gif" /><br /><param name="boxborder" value="false" /><br /><param name="centerimage" value="true" /><br /><param name="java_arguments" value="-Xmx512m -Djnlp.packEnabled=true" /><br /><param name="cache_archive" value="geogebra.jar, geogebra_main.jar, geogebra_gui.jar, geogebra_cas.jar, geogebra_export.jar, geogebra_properties.jar" /><br /><param name="cache_version" value="3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0" /><br /><param name="framePossible" value="false" /><br /><param name="showResetIcon" value="false" /><br /><param name="showAnimationButton" value="true" /><br /><param name="enableRightClick" value="false" /><br /><param name="errorDialogsActive" value="true" /><br /><param name="enableLabelDrags" value="false" /><br /><param name="showMenuBar" value="false" /><br /><param name="showToolBar" value="false" /><br /><param name="showToolBarHelp" value="false" /><br /><param name="showAlgebraInput" value="false" /><br /><param name="allowRescaling" value="true" /><br />This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com</applet><br />
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<br />
<title>2 sime centrales igual centro es identidad - GeoGebra Hoja Dinámica</title><style type="text/css"><!--body { font-family:Arial,Helvetica,sans-serif; margin-left:40px }--></style><br />
<table border="0" style="width: 600px;"><tbody>
<tr><td><br />
<h2>
Dos simetrías centrales de igual centro producen una identidad.</h2>
<br />
<br />
<applet archive="geogebra.jar" code="geogebra.GeoGebraApplet" codebase="http://www.geogebra.org/webstart/3.2/unsigned/" height="407" mayscript="true" name="ggbApplet" title="Java" width="524"><br /><param name="ggbBase64" value="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" /><br /><param name="image" value="http://www.geogebra.org/webstart/loading.gif" /><br /><param name="boxborder" value="false" /><br /><param name="centerimage" value="true" /><br /><param name="java_arguments" value="-Xmx512m -Djnlp.packEnabled=true" /><br /><param name="cache_archive" value="geogebra.jar, geogebra_main.jar, geogebra_gui.jar, geogebra_cas.jar, geogebra_export.jar, geogebra_properties.jar" /><br /><param name="cache_version" value="3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0" /><br /><param name="framePossible" value="false" /><br /><param name="showResetIcon" value="false" /><br /><param name="showAnimationButton" value="true" /><br /><param name="enableRightClick" value="false" /><br /><param name="errorDialogsActive" value="true" /><br /><param name="enableLabelDrags" value="false" /><br /><param name="showMenuBar" value="false" /><br /><param name="showToolBar" value="false" /><br /><param name="showToolBarHelp" value="false" /><br /><param name="showAlgebraInput" value="false" /><br /><param name="allowRescaling" value="true" /><br />This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com</applet><br />
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<br />
<br />
<title>sime axial ejes secantes giro - GeoGebra Hoja Dinámica</title><style type="text/css"><!--body { font-family:Arial,Helvetica,sans-serif; margin-left:40px }--></style><br />
<table border="0" style="width: 619px;"><tbody>
<tr><td><br />
<h2>
El producto de dos simetrías axiales con ejes secantes es un giro: si una figura es simétrica axial de otra y ésta de una tercera, la primera se puede transformar en la tercera mediante un giro.</h2>
<a href="http://teoremas-de-geometria.blogspot.com.es/2012/03/teorema-de-bravais.html">http://teoremas-de-geometria.blogspot.com.es/2012/03/teorema-de-bravais.html</a> <br />
<br />
<applet archive="geogebra.jar" code="geogebra.GeoGebraApplet" codebase="http://www.geogebra.org/webstart/3.2/unsigned/" height="407" mayscript="true" name="ggbApplet" title="Java" width="619"><br /><param name="ggbBase64" value="UEsDBBQACAAIAC+DZEAAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s7VvbcuI4Gr7eeQqXL+Yujs6Sa0NPQbpnq6v6MFWZnYu5M0YBT4zN2iYNeaO9mKfoF9tfkg02kDTk0A2pzUXAkizL3/f9J9lc/LKYpt6tLsokz3o+DpDv6SzOR0k27vnz6vpM+b+8+elirPOxHhaRd50X06jq+TQgvmmfJ29++sdFOcm/eFFqh/yR6C89/zpKS+175azQ0aicaF112qP5IkmTqFh+Hv6l46pcd7hJ3mezebVqjKejD0kJx1Ux1/65veIsTaq3yW0y0oWX5nHPFxzWDt/+0EWVxFHa8xlyLaTnk41OaKKmd5IXyV2eVWb4evI0GuoUELiqlqn2vFvTS13XNQz2vDK504AWcW1xnpW/FXl1mafzaVZ6XpynqJ7PfMet76T1na5vME9Zq4M3HZ3pc+jx5qWGy+RF2Qw30H/O0uUAgL6Z5Um2BrNz9qfoNhlHFdA8iAp7VjPDLI2Wg3lVGQGsW95q+AfAGUXM4PzuCDPrVaVnMMCCcHFulXCh53GajJIoM2xbngApz/uSjKoJUIRDgFwn44lRkETNCvNidLUsKz31Fn/qIodJMTfXXboj6o5K4A1Q58h2tY/sNPr2SlcVsFZ60UKvFTUuklHn4H05yNN1k8XsMppV88KKntZNlvyeD9cqzIL72TjVdRsGACY6vhnmiyunBOqm/n05s6fYBQ3HlimvMPLjMKD+HLpPO8asdDUK2THIjqjnMJOu+nFI7Aj7OXSfTq9J5pZW3zlu7hqj5jJJ6ZkG5NfU1zdvld7zfW+eJdWH5gBM5GZ9q+aET/PpUK9E150TP9ecF+cb8rm40UWm01rGwO08n5fOHFsKH+k4mcKh66ghiQxd/4YFuNaRHhe6WbhzMQ4w29sR4kbzxXmzCGtKsNbYGBHcT2XupUymBvUkSj39ly69UsdRVsGXcVLkxs9V4GJ6/qev/y0rYPFjVFRf/868f83B+5W+N4oqmMR4Up3qqQbfUlkJWQWuoOz7KyebW3/ZmGHdvyYFunfKyQovSmeTCFoaiwEDB+fZRsDO9zEfdXGJMsDX3nRpTR4FhsGZ1o78qha9dRvWhDruBzAtvUXPPyOBALs1oSNkvnfnoo0d5OzNeIq1qwUxOES+gc3gVWCDamxIED4fNJevBBqiLDYooOowcOJ8Oo2ykZdFU7jUb3m6HOeZBSUx+YUXIWNbXoSNjLyIGMgcHvOq6Z/l6de/4bQcu4GxGxjBB8TvobtkfaEdfLhLNoi3Juv67WoC7jHTZWkc2Aqa84f5a+G1TSDm1FGIWItCfAiF9+us1GNztFpJ/INu50BFrlUFEmK1wSGrqTMeYCk2w+kD96H/k7kxpQtqyRQy0jipVgJKjajfQywoICYYM9iOXDdaz0zK8Dn7vYiy0uTWbkwrIu7JQHRqDJCAk8ascdj545YRFHAFGfz6D58uO8NTY+eMBtxFJAjblLRpQNQZDDgTzDs96nQI6gbKt68kUIYuULIgFM+XRbx7DeDgQDo1o4AdiE03ifgA4t7IIN66xODdVuowejg5MHayQnH0gh6C407xaQ6f7iF4wEgdQYXsuG/p/IMEOeKtAvWRLuF+Qj4mRZEXG5QMHCWjLUoGP0ezvPznt7K2ToFRn/JDrWCNOwiYCCK5CBUlEkml6qKKIcm4pFxQoajETxH5Tkwv78P08nBML48LUxIQyjjGijMlmVLOV+BAEEqpDAXHDCMl5bNj2r8P0/7hmPaPC1MUKGzSN8ZDTo0knbfgAKrCiALShAuOXqCiawzWQttfHZCOUnfXeKSu8donDVcHUO9F+/FyT9VHXtDJ2wRw7Ly73T98+aKvJbjvfk+Pz2zB2AkSTOAQK6UwlavNBSkJkwJDr0CMNVkuBbfKFFJUUI4pIidcJA5PkjEWgBeRgnNFoeKosw4MYRCBy6bgXRhQRl1Wd4ZxQDgTQhAWMhqeMlvRSbJ1Bqm2YhiHNMSESKIod5k3DsCICBUY3D6Tqvb8IgjBHDGDQAv5C5xzOnx1w++vr6FMooFidQnJDtyj/2aZ9M7F1l+3oq8+oEzSL76Rgp7RFJjZzbclEvip7RIpDCgGmH9MhdROkvQWJ3X3o6ul48pFoVaFuM2RieyKhJzXIQSyfoxwyBU4LI7DAx+97JPfP4xy/7Eo948RZRFIAak9UYxBdSoVrgtTRKRkiAmuMMGS8OevTB9G+fKxKF8eI8okUIKFAkpVihE3pVQtZspkGEJsFQyqK/Sk+n93XdWFo11dtculLc+xu9KiboLh9gTxRtO66npS7UVffoMNtP+9aq/hljS/+509JUMUMpQMiqqQISUk5s17AYhiyiikg4KG9RaW2bFlKgwJYpxSDGUYP+GcPj5h3iCxD6EIVhyBd0eCE9Ek9sAJg0MqlYL4KurSWUHdxgmcIjmBfJ+fLmvRCbNmn9NRBTSEkgscQsQImwd7nJqILQTlUkIm6nijgWQSKS4hW0KhMvXbERPXDVxXNXEbgcvFmq08oBOZrh+OK5uSuD6pQgQFoWhnB7UEaACst3MJXm+iBEwITIQCVyzB56rneozzwyQw2M5dBlsSGB8mgfFJSQCCLmTgoUIMY66Ye2p0JsBHtyujuugXUDApiMKQuBt1HPWD/e2Nh0FiZr7vAdbDbmBywGbEZA8B0McqoHll+FmLh7NdFr+8x0Hc2TcJEMYwnGBKGYFIvo8S6B5SeBSDe1lxcgCDyckxuMNglzut2/pxoBVCOVYMTgj33Q1/Gn2XSRGnul/Eu7f/NovIne9c3jxMYZxnSTyLirUrvtmDR8yf5Ivti1VPfcFqvxXqZKyzW2sApectUP27nCVyV/TumpYFtqZr+nDddIdbVf80qopk4fWb8f1mVJ9YzXDC2m/Ygc33aX2NPnNb+fCN25cOxFG492+oa9NBkF0OYnaoumb/V9cj1EUDJtsvBoljVNd5+zcd9mdM9Q/d3vwPUEsHCPkoXAymCAAAGjcAAFBLAQIUABQACAAIAC+DZED5KFwMpggAABo3AAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAEAAQA6AAAA4AgAAAAA" /><br /><param name="image" value="http://www.geogebra.org/webstart/loading.gif" /><br /><param name="boxborder" value="false" /><br /><param name="centerimage" value="true" /><br /><param name="java_arguments" value="-Xmx512m -Djnlp.packEnabled=true" /><br /><param name="cache_archive" value="geogebra.jar, geogebra_main.jar, geogebra_gui.jar, geogebra_cas.jar, geogebra_export.jar, geogebra_properties.jar" /><br /><param name="cache_version" value="3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0" /><br /><param name="framePossible" value="false" /><br /><param name="showResetIcon" value="false" /><br /><param name="showAnimationButton" value="true" /><br /><param name="enableRightClick" value="false" /><br /><param name="errorDialogsActive" value="true" /><br /><param name="enableLabelDrags" value="false" /><br /><param name="showMenuBar" value="false" /><br /><param name="showToolBar" value="false" /><br /><param name="showToolBarHelp" value="false" /><br /><param name="showAlgebraInput" value="false" /><br /><param name="allowRescaling" value="true" /><br />This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com</applet><br />
<br />
<br />
<br />
Ejercicios resueltos por simetrías:<br />
<br />
<br />
Dado un cuadrilátero ABCD, determinar el punto E de su perímetro desde el que se ven los segmentos AB y CD bajo el mismo ángulo.</td></tr>
</tbody></table>
</td></tr>
</tbody></table>
</td></tr>
</tbody></table>
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<a href="http://3.bp.blogspot.com/-YGfRrBmk-mg/T3tf9nrz42I/AAAAAAAAES4/maALMSg5xQE/s1600/Reflejo%2Ben%2Bdos%2Bespejos2.jpg" style="font-size: 100%;"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5727276863361114978" src="https://3.bp.blogspot.com/-YGfRrBmk-mg/T3tf9nrz42I/AAAAAAAAES4/maALMSg5xQE/s320/Reflejo%2Ben%2Bdos%2Bespejos2.jpg" style="cursor: pointer; float: left; height: 287px; margin: 0px 10px 10px 0px; width: 320px;" /></a><br />
<br />
<title>Reflejo en dos espejos - GeoGebra Hoja Dinámica</title><br />
<br />
<br />
<style type="text/css"><!--body { font-family:Arial,Helvetica,sans-serif; margin-left:40px }--></style><br />
<br />
<br />
<br />
<table border="0" style="width: 600px;"><tbody>
<tr><td><br />
<h2>
<div class="MsoNormal">
<span lang="ES" style="font-weight: normal;">Construimos el punto simétrico C’1 de C respecto a la recta AD. Unimos este punto con B y en la intersección con el segmento AD tenemos E, punto desde el que se ven AB y CD bajo un mismo ángulo.<o:p></o:p></span></div>
</h2>
<br />
Vista de dos segmentos bajo el mismo ángulo<br />
<br />
<br />
<br />
<applet archive="geogebra.jar" code="geogebra.GeoGebraApplet" codebase="http://www.geogebra.org/webstart/3.2/unsigned/" height="537" mayscript="true" name="ggbApplet" title="Java" width="568"><br /><param name="ggbBase64" value="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" /><br /><param name="image" value="http://www.geogebra.org/webstart/loading.gif" /><br /><param name="boxborder" value="false" /><br /><param name="centerimage" value="true" /><br /><param name="java_arguments" value="-Xmx512m -Djnlp.packEnabled=true" /><br /><param name="cache_archive" value="geogebra.jar, geogebra_main.jar, geogebra_gui.jar, geogebra_cas.jar, geogebra_export.jar, geogebra_properties.jar" /><br /><param name="cache_version" value="3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0" /><br /><param name="framePossible" value="false" /><br /><param name="showResetIcon" value="false" /><br /><param name="showAnimationButton" value="true" /><br /><param name="enableRightClick" value="false" /><br /><param name="errorDialogsActive" value="true" /><br /><param name="enableLabelDrags" value="false" /><br /><param name="showMenuBar" value="false" /><br /><param name="showToolBar" value="false" /><br /><param name="showToolBarHelp" value="false" /><br /><param name="showAlgebraInput" value="false" /><br /><param name="allowRescaling" value="true" /><br />This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com</applet><br />
<br /></td></tr>
</tbody></table>
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="font-size: 100%;">Dado un punto B y dos rectas verdes (una de ellas sobre él), determinar un punto H sobre la recta BA que equidiste de B y de la recta AD.</span><br />
<br />
<br />
<a href="http://4.bp.blogspot.com/-iIzYspQIBGw/T3tf8uZwmeI/AAAAAAAAESw/zpqoMqqOK0g/s1600/Distancia%2Bde%2Bun%2Bpunto%2Ba%2Botro%2By%2Ba%2Brecta2.jpg" style="font-size: 100%;"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5727276847984581090" src="https://4.bp.blogspot.com/-iIzYspQIBGw/T3tf8uZwmeI/AAAAAAAAESw/zpqoMqqOK0g/s320/Distancia%2Bde%2Bun%2Bpunto%2Ba%2Botro%2By%2Ba%2Brecta2.jpg" style="cursor: pointer; float: left; height: 256px; margin: 0px 10px 10px 0px; width: 320px;" /></a><br />
<br />
<br />
<title>Distancia de un punto a otro y a recta. - GeoGebra Hoja Dinámica</title><br />
<br />
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<style type="text/css"><!--body { font-family:Arial,Helvetica,sans-serif; margin-left:40px }--></style><br />
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<br />
<br />
<table border="0" style="font-size: 100%; width: 600px;"><tbody>
<tr><td><div class="MsoNormal">
<span lang="ES">Dadas dos rectas (en color verde), se trata de calcular un punto H que tenga la misma distancia respecto a una de las rectas AD que a otro punto B sobre otra de las rectas.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span lang="ES">Construimos desde B una recta perpendicular a la otra recta verde obteniendo de esta forma BD. Por un punto cualquiera C de la recta verde AD hacemos otra perpendicular a AD hasta que corta a la otra recta en el punto E. En este punto hacemos una circunferencia cuyo radio es EC. La circunferencia corta a la recta AB en el punto F que unido al punto C determina la recta CF. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span lang="ES">Observamos que si hacemos la mediatriz de esta recta obtenemos el centro de la circunferencia E, punto que equidista de la recta verde AD y del punto F.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span lang="ES">De la misma forma si construimos una recta paralela a la recta FC por B tenemos la recta BG, cuya mediatriz determina el punto buscado H. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span lang="ES">HB=HG.<o:p></o:p></span></div>
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="font-size: large;"><b>Dados 2 ptos. AB y una recta f, se pide calcular la circunferencia que tenga el centro sobre esta recta y pase por AB.</b></span><br />
Se hacen 2 circunferencias cualesquiera de igual radio y centros AB. Su intersección es la recta g que corta a la dada f en I, éste es el centro de la circunferencia buscada.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://2.bp.blogspot.com/-8N4H3qPeSYI/WR1hj3zCnaI/AAAAAAAAKCc/_i3nb2w7dGcUaVjLO8WMmBSyZK1D8la3ACLcB/s1600/si.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="252" src="https://2.bp.blogspot.com/-8N4H3qPeSYI/WR1hj3zCnaI/AAAAAAAAKCc/_i3nb2w7dGcUaVjLO8WMmBSyZK1D8la3ACLcB/s320/si.jpg" width="320" /></a></div>
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<h2>
Equidistancia de un punto a otro y a una recta.</h2>
<br />
<br />
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<br />
<br />
<applet archive="geogebra.jar" code="geogebra.GeoGebraApplet" codebase="http://www.geogebra.org/webstart/3.2/unsigned/" height="537" mayscript="true" name="ggbApplet" title="Java" width="568"><br /><param name="ggbBase64" value="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" /><br /><param name="image" value="http://www.geogebra.org/webstart/loading.gif" /><br /><param name="boxborder" value="false" /><br /><param name="centerimage" value="true" /><br /><param name="java_arguments" value="-Xmx512m -Djnlp.packEnabled=true" /><br /><param name="cache_archive" value="geogebra.jar, geogebra_main.jar, geogebra_gui.jar, geogebra_cas.jar, geogebra_export.jar, geogebra_properties.jar" /><br /><param name="cache_version" value="3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0, 3.2.47.0" /><br /><param name="framePossible" value="false" /><br /><param name="showResetIcon" value="false" /><br /><param name="showAnimationButton" value="true" /><br /><param name="enableRightClick" value="false" /><br /><param name="errorDialogsActive" value="true" /><br /><param name="enableLabelDrags" value="false" /><br /><param name="showMenuBar" value="false" /><br /><param name="showToolBar" value="false" /><br /><param name="showToolBarHelp" value="false" /><br /><param name="showAlgebraInput" value="false" /><br /><param name="allowRescaling" value="true" /><br />This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com</applet><br />
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Dado un punto D sobre una recta morada y una circunferencia verde, determinar un punto G sobre la recta morada que equidiste de la circunferencia verde y del punto D.<br />
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<a href="http://4.bp.blogspot.com/-qAqGki5gp_0/T3tf8cStzKI/AAAAAAAAESg/6eMT-S9HOtE/s1600/Distancia%2Bde%2Bun%2Bpunto%2Ba%2Botro%2By%2Ba%2BCirc2.jpg"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5727276843123199138" src="https://4.bp.blogspot.com/-qAqGki5gp_0/T3tf8cStzKI/AAAAAAAAESg/6eMT-S9HOtE/s320/Distancia%2Bde%2Bun%2Bpunto%2Ba%2Botro%2By%2Ba%2BCirc2.jpg" style="cursor: pointer; float: left; height: 283px; margin: 0px 10px 10px 0px; width: 320px;" /></a><br />
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<title>Distancia de un punto a otro y a Circ. - GeoGebra Hoja Dinámica</title><br />
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<style type="text/css"><!--body { font-family:Arial,Helvetica,sans-serif; margin-left:40px }--></style><br />
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<table border="0" style="width: 600px;"><tbody>
<tr><td><div class="MsoNormal">
<span lang="ES">Dada una recta (en el dibujo en color morada) y un punto D sobre esta recta, así como una circunferencia exterior (en color verde), se trata de calcular un punto G sobre la recta morada que equidiste de la circunferencia verde y del punto dado D.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span lang="ES"><o:p> </o:p></span><span style="font-size: 100%; text-align: left;">Hacemos por el centro A de la circunferencia verde una recta paralela a la recta morada dada, de esta manera obtenemos en la intersección con la circunferencia el punto E, punto por el que hacemos una recta paralela a la dirección AD. Esta dirección por E corta a la recta morada en el punto F. Tomando el segmento FA y construyendo su mediatriz obtenemos en la intersección con la recta morada el punto G, que es la solución ya que equidista de la circunferencia verde y del punto D.</span></div>
<h2>
Equidistancia de un punto a otro y a Circunferencia</h2>
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Dr. Néstor Martín Gulias, catedrático de dibujo técnicohttp://www.blogger.com/profile/03720592188547282148noreply@blogger.com0