Movimiento es una transformación (aplicación en la que a un punto
se le hace corresponder otro) en la que la forma y tamaño de las figuras
resultan invariables. Las simetrías se consideran movimientos inversos por que
no conservan la orientación de la figuras.
Los desplazamientos o movimientos en el
plano son por tanto aquellas transformaciones de una figura en otra igual,
tanto en su forma como en sus dimensiones. Se dice que el desplazamiento es
positivo cuando sigue el sentido contrario a las agujas del reloj. Un
desplazamiento es directo si conserva el sentido de los ángulos mientras que es
inverso si no los conserva. El producto o composición de desplazamientos es un
grupo no conmutativo, cuyo elemento neutro es la identidad, esto es, un
desplazamiento que mantiene invariante la figura.
Los movimientos tienen estructura
algebraica de grupo, pues su composición (producto de movimientos) tiene las
propiedades:
1- Es una operación: de 2 movimientos se
obtiene otro.
2- Es asociativa: la composición de
movimientos es independiente del modo de asociarse.
3- Elemento neutro: el movimiento
identidad que deja invariante la posición de la figura.
El elemento neutro es el movimiento
identidad que transforma cada punto en sí mismo: giro de 360º, traslación de
distancia 0, composición de traslaciones con movimiento inverso (desplazar de A
a B y de B a A), etc.
4- Elemento simétrico: todo elemento de
cualquier movimiento tiene su simétrico.
El elemento simétrico de un movimiento es
el que que operado con cualquier otro movimiento da el elemento neutro de la
operación.
Congruencia en el plano:
Dos figuras son congruentes cuando se
transforma una en otra mediante un desplazamiento, de lo que resulta una figura
idéntica. Si la congruencia es directa la figura resultante se ha desplazado
por el plano que contiene a la anterior, mientras que si es inversa es como si
se aplicara una simetría axial en el plano, o bien como si se aplicara un
abatimiento (giro o pliegue) respecto a un eje del plano de manera que la
figura resulta invertida.
En la congruencia, la identidad es un
desplazamiento que hace que la figura permanezca invariante.
Los movimientos en el plano son los cambios de
posición que se tienen al aplicar sucesivamente a una figura un número
cualquiera de traslaciones, giros y simetrías. En todo movimiento se da una
posición inicial y otra final, como resultado de aplicar la transformación
geométrica. Los movimientos son correspondencias biunívocas que permiten
obtener una figura final congruente con la inicial de manera que cada punto de
la original le corresponde un punto de la imagen final y recíprocamente.
Traslación: es aplicar
un movimiento rectilíneo según una dirección determinada. Un vector de
traslación marca la dirección, el sentido y la magnitud del desplazamiento. Los
segmentos homólogos conservan su longitud y dirección, se mantiene el
paralelismo, los ángulos homólogos se conservan iguales.
Giro: girar es
aplicar un movimiento de rotación respecto a un punto fijo llamado centro de
giro o rotación. Se dice que es positivo o levógiro cuando es contrario a las
agujas del reloj o a la izquierda y negativo mientras que dextrógiro cuando
sigue el sentido de las agujas del reloj o a la derecha.
Simetría central: es el
movimiento correspondiente a un giro cuyo ángulo vale 180° teniendo como centro
de rotación el de una homotecia particular que transforman la figura original
en la final. En toda simetría central, dos puntos simétricos se encuentran
alineados y son equidistantes del centro de simetría, de ello se desprende que
los segmentos simétricos respecto a un punto deben ser paralelos.
Simetría axial: de una
figura que se gira en torno a un eje de simetría de manera que se levanta del
plano que la contiene hasta volver a él. Es una rotación de 180° en el espacio
alrededor de una recta fija llamada eje. Entre una figura y su simétrica,
existe el eje de simetría de manera que cada punto tiene a su simétrico dejando
en el centro por mediatriz al eje de simetría.
Movimientos
directos e inversos: un movimiento es directo cuando conserva
el sentido de giro, de manera que se mantiene el sentido de ordenación de los
elementos del plano. Las traslaciones y los giros, incluida la simetría
central, son movimientos directos, se dice que son directamente iguales. Un
movimiento es inverso cuando no se conserva el sentido de giro de las figuras,
invirtiendo el sentido del plano, como sucede en el caso de las simetrías
axiales.
Producto de
movimientos: es la aplicación sucesiva de dos o más movimientos. Al
aplicar varios movimientos se genera otro movimiento.
Producto de
traslaciones: el producto de dos translaciones definidas por los vectores
es otra traslación del vector.
Producto de dos
giros: es otro giro, de centro la intersección de las mediatrices
de los segmentos que unen puntos homólogos de las posiciones original y final.
Si las rectas mediatrices son paralelas, el producto de ambos giros es una
traslación.
Producto de una
traslación por un giro: es un giro cuyo centro es la intersección
de las mediatrices de los segmentos que une los puntos homólogos de las
posiciones original y final. Como la traslación puede considerarse un giro de centro
impropio, el producto de una traslación por un giro y el producto de los giros,
determinan el centro de la misma forma.
Producto de dos simetrías axiales: es un giro, cuyo centro
es el punto de intersección de los ejes de simetría. Si ambos ejes son paralelos
se produce una traslación, esto es, un giro del centro impropio.
Traslaciones, simetrías y giros que generan redes, logos, rosetas, figuras imposibles, diseños, etc:
Lo entendíi
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