sábado, 16 de octubre de 2010

Movimientos o transformaciones isométricas: traslaciones, giros y simetrías.

Movimiento es una transformación (aplicación en la que a un punto se le hace corresponder otro) en la que la forma y tamaño de las figuras resultan invariables. Las simetrías se consideran movimientos inversos por que no conservan la orientación de la figuras.


Los desplazamientos o movimientos en el plano son por tanto aquellas transformaciones de una figura en otra igual, tanto en su forma como en sus dimensiones. Se dice que el desplazamiento es positivo cuando sigue el sentido contrario a las agujas del reloj. Un desplazamiento es directo si conserva el sentido de los ángulos mientras que es inverso si no los conserva. El producto o composición de desplazamientos es un grupo no conmutativo, cuyo elemento neutro es la identidad, esto es, un desplazamiento que mantiene invariante la figura.


Los movimientos tienen estructura algebraica de grupo, pues su composición (producto de movimientos) tiene las propiedades:
1- Es una operación: de 2 movimientos se obtiene otro.
2- Es asociativa: la composición de movimientos es independiente del modo de asociarse.
3- Elemento neutro: el movimiento identidad que deja invariante la posición de la figura.
El elemento neutro es el movimiento identidad que transforma cada punto en sí mismo: giro de 360º, traslación de distancia 0, composición de traslaciones con movimiento inverso (desplazar de A a B y de B a A), etc.
4- Elemento simétrico: todo elemento de cualquier movimiento tiene su simétrico.
El elemento simétrico de un movimiento es el que que operado con cualquier otro movimiento da el elemento neutro de la operación.


Congruencia en el plano:
Dos figuras son congruentes cuando se transforma una en otra mediante un desplazamiento, de lo que resulta una figura idéntica. Si la congruencia es directa la figura resultante se ha desplazado por el plano que contiene a la anterior, mientras que si es inversa es como si se aplicara una simetría axial en el plano, o bien como si se aplicara un abatimiento (giro o pliegue) respecto a un eje del plano de manera que la figura resulta invertida.
En la congruencia, la identidad es un desplazamiento que hace que la figura permanezca invariante.

Los movimientos en el plano son los cambios de posición que se tienen al aplicar sucesivamente a una figura un número cualquiera de traslaciones, giros y simetrías. En todo movimiento se da una posición inicial y otra final, como resultado de aplicar la transformación geométrica. Los movimientos son correspondencias biunívocas que permiten obtener una figura final congruente con la inicial de manera que cada punto de la original le corresponde un punto de la imagen final y recíprocamente.

Traslación: es aplicar un movimiento rectilíneo según una dirección determinada. Un vector de traslación marca la dirección, el sentido y la magnitud del desplazamiento. Los segmentos homólogos conservan su longitud y dirección, se mantiene el paralelismo, los ángulos homólogos se conservan iguales.

Giro: girar es aplicar un movimiento de rotación respecto a un punto fijo llamado centro de giro o rotación. Se dice que es positivo o levógiro cuando es contrario a las agujas del reloj o a la izquierda y negativo mientras que dextrógiro cuando sigue el sentido de las agujas del reloj o a la derecha.

Simetría central: es el movimiento correspondiente a un giro cuyo ángulo vale 180° teniendo como centro de rotación el de una homotecia particular que transforman la figura original en la final. En toda simetría central, dos puntos simétricos se encuentran alineados y son equidistantes del centro de simetría, de ello se desprende que los segmentos simétricos respecto a un punto deben ser paralelos.

Simetría axial: de una figura que se gira en torno a un eje de simetría de manera que se levanta del plano que la contiene hasta volver a él. Es una rotación de 180° en el espacio alrededor de una recta fija llamada eje. Entre una figura y su simétrica, existe el eje de simetría de manera que cada punto tiene a su simétrico dejando en el centro por mediatriz al eje de simetría.

Movimientos directos e inversos: un movimiento es directo cuando conserva el sentido de giro, de manera que se mantiene el sentido de ordenación de los elementos del plano. Las traslaciones y los giros, incluida la simetría central, son movimientos directos, se dice que son directamente iguales. Un movimiento es inverso cuando no se conserva el sentido de giro de las figuras, invirtiendo el sentido del plano, como sucede en el caso de las simetrías axiales.

Producto de movimientos: es la aplicación sucesiva de dos o más movimientos. Al aplicar varios movimientos se genera otro movimiento.

Producto de traslaciones: el producto de dos translaciones definidas por los vectores es otra traslación del vector.

Producto de dos giros: es otro giro, de centro la intersección de las mediatrices de los segmentos que unen puntos homólogos de las posiciones original y final. Si las rectas mediatrices son paralelas, el producto de ambos giros es una traslación.

Producto de una traslación por un giro: es un giro cuyo centro es la intersección de las mediatrices de los segmentos que une los puntos homólogos de las posiciones original y final. Como la traslación puede considerarse un giro de centro impropio, el producto de una traslación por un giro y el producto de los giros, determinan el centro de la misma forma.

Producto de dos simetrías axiales: es un giro, cuyo centro es el punto de intersección de los ejes de simetría. Si ambos ejes son paralelos se produce una traslación, esto es, un giro del centro impropio.



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