sábado, 16 de octubre de 2010

Movimientos o transformaciones isométricas: traslaciones, giros y simetrías.

Movimiento es una transformación (aplicación en la que a un punto se le hace corresponder otro) en la que la forma y tamaño de las figuras resultan invariables. Las simetrías se consideran movimientos inversos por que no conservan la orientación de la figuras.


Los desplazamientos o movimientos en el plano son por tanto aquellas transformaciones de una figura en otra igual, tanto en su forma como en sus dimensiones. Se dice que el desplazamiento es positivo cuando sigue el sentido contrario a las agujas del reloj. Un desplazamiento es directo si conserva el sentido de los ángulos mientras que es inverso si no los conserva. El producto o composición de desplazamientos es un grupo no conmutativo, cuyo elemento neutro es la identidad, esto es, un desplazamiento que mantiene invariante la figura.


Los movimientos tienen estructura algebraica de grupo, pues su composición (producto de movimientos) tiene las propiedades:
1- Es una operación: de 2 movimientos se obtiene otro.
2- Es asociativa: la composición de movimientos es independiente del modo de asociarse.
3- Elemento neutro: el movimiento identidad que deja invariante la posición de la figura.
El elemento neutro es el movimiento identidad que transforma cada punto en sí mismo: giro de 360º, traslación de distancia 0, composición de traslaciones con movimiento inverso (desplazar de A a B y de B a A), etc.
4- Elemento simétrico: todo elemento de cualquier movimiento tiene su simétrico.
El elemento simétrico de un movimiento es el que que operado con cualquier otro movimiento da el elemento neutro de la operación.


Congruencia en el plano:
Dos figuras son congruentes cuando se transforma una en otra mediante un desplazamiento, de lo que resulta una figura idéntica. Si la congruencia es directa la figura resultante se ha desplazado por el plano que contiene a la anterior, mientras que si es inversa es como si se aplicara una simetría axial en el plano, o bien como si se aplicara un abatimiento (giro o pliegue) respecto a un eje del plano de manera que la figura resulta invertida.
En la congruencia, la identidad es un desplazamiento que hace que la figura permanezca invariante.

Giros


Giro de triángulos

Mover los puntos ABCD para ver los casos distintos y particulares de un giro de 200º a la derecha (sentido horario) de un triángulo.





















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De centro, ángulo y sentido dado es un movimiento que desplaza el elemento con una distancia constante alrededor del centro.

Giro:
es una rotación aplicada bajo cierto ángulo desde un centro que transforma cada punto en otro de manera que la distancia del centro a ese punto es invariable. Si el ángulo de giro vale 180° tenemos una simetría central. El centro es el único elemento invariante salvo el giro identidad, por ejemplo el giro de una figura 360° o 0º.


Producto_de_giros. - GeoGebra Hoja Dinámica

Producto de giros de mismo centro.





















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Mover los puntos ABCD para ver los distintos casos.

Si giramos una figura desde un centro y luego otro ángulo añadido bajo el mismo centro, el resultado es un giro en el que se suman los dos ángulos. En el dibujo el triángulo se gira primero 120º (del rosa al azul) y luego 90º (del azul al verde) obteniendo el tercer triángulo que respecto al primero ha girado 210º, la suma de ambos.

Por tanto:

Producto de giros:
el producto de dos giros de ángulos o amplitudes distintas bajo un mismo centro es un giro de amplitud de ambos ángulos sumados bajo el mismo centro.




Giro a la izquierda del triángulo desde el c

entro O. Como todos los puntos giran el mismo ángulo, los sectores circulares que definen su arco son todos proporcionales.









Giro a la izquierda del triángulo azul que se transforma tras el movimiento en el triángulo verde.








Cuando una figura gira en un plano tenemos que sus puntos siguen una trayectoria en forma de circunferencia, girando todos el mismo ángulo en torno a un punto.

Cuando una figura gira en el espacio todos los puntos también giran el mismo ángulo pero cada punto gira sobre una circunferencia que es perpendicular al eje de giro y cuyo centro de giro está en el centro de esa circunferencia.

Para calcular un giro de la figura C, que se apoya al igual que la cuña -de la que tomamos una arista como eje de giro- en el mismo plano, construimos el giro espacial de cada punto, de esta manera tomamos desde un punto A de la figura una recta m perpendicular al eje de giro y por el plano perpendicular al eje de giro que pasa por ambos puntos AP, trazamos la otra recta m’ que corresponde junto a la anterior m al ángulo girado m-m’, transformando A en A' mediante el giro. Hacemos lo mismo con los demás puntos y obtenemos la misma figura en su nueva posición tras el giro.


http://sistema-diedrico.blogspot.com/2010/11/giros.html









Dados dos prismas, uno de color verde y otro en color amarillo, el de color amarillo es un prisma en forma de cuña que utilizamos una de sus rectas oblicuas (la hipotenusa del triángulo rectángulo de una de sus caras) como eje de giro. Ambos prismas están apoyados en un plano y el prisma de color verde se gira respecto al eje de giro siguiendo una trayectoria circular tal y como aparece en el dibujo. Si consideramos un punto del prisma verde, por ejemplo el número 10, gira respecto al eje según un círculo perpendicular al eje de giro, de esta manera aparecen en el dibujo cada 36° la figura como quedaría hasta cubrir la circunferencia completa (los 360°). En el dibujo se puede observar la posición del prisma al ser girado en ángulos iguales respecto al eje de rotación. Cada punto del prisma gira según una circunferencia cuyo plano es perpendicular al eje de giro.









video

Giro en el espacio

Si la figura tridimensional se levanta del suelo tenemos un giro en el espacio, claramente la figura ya no se mueve en torno a un punto sino que lo hace en torno a una recta, cada punto describe un arco de circunferencia cuyo plano es perpendicular al eje de revolución. El giro de una figura espacial siempre es un giro en el espacio, y en este caso se ve más claro porque la figura apoyada en un plano se separa de él tras el giro respecto al eje de giro para volver al mismo plano.





video

Giro en el plano o giro en el espacio

Como podemos observar en la animación, un prisma que tiene una cara apoyada en un plano gira en torno a un centro que es el punto de tangencia donde se apoya la esfera. La figura, pese a ser un sólido tridimensional, gira en el plano y todos los puntos de la figura que están por encima de la base giran según un plano paralelo al anterior. Se entiende que los puntos de la cara superior están girando en un plano paralelo al del suelo y que por tanto cada punto obtiene su nuevo punto girado respecto a un centro de giro que está por encima del anterior, de lo cual hay que concluir que en realidad el giro de toda la figura se hace respecto a un eje vertical, no a un punto como se viene haciendo en un giro en el plano. En consecuencia, pese a que la base de la figura se mueve siguiendo un giro en el plano definido por el giro plano de la base, al ser una figura espacial que se mueve en torno a un eje en este caso vertical, tenemos que denominarlo giro en el espacio.


Giros distintos centros otro giro - GeoGebra Hoja Dinámica

Giros de distintos centros generan otro giro: si giramos una primera figura obteniendo una segunda y ésta la giramos de nuevo desde otro centro obtenemos una tercera figura que puede obtenerse de la primera mediante un giro. Para calcular el centro de giro que transforma la primera en la tercera, hacemos los segmentos AA'' y CC'' y hacemos sus mediatrices, en la intersección de éstas está el centro de giro.























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Traslaciones


Traslación





















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Movimiento que desplaza cada punto según una dirección y sentido dados.



Traslaciones: si un vector se transforma en otro de manera que conserva la misma longitud, dirección y sentido, tenemos una traslación en la que ningún punto permanece invariante salvo que sea una traslación de identidad.


Producto de traslaciones - GeoGebra Hoja Dinámica

Producto de traslaciones





















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Producto de traslaciones:
si aplicamos sucesivas traslaciones diremos que hacemos un producto de traslaciones, el producto de dos traslaciones es otra traslación.

Para trasladar una figura necesitamos saber la dirección que sigue el movimiento y el sentido del mismo, junto con la longitud del desplazamiento.
Una figura obtenida de otra por traslación es una figura idéntica a la original en la que los segmentos homólogos se cortan en puntos de la recta del infinito (la dirección de cada lado de la figura que se ha trasladado) y los puntos homólogos están alineados con un centro de proyección en el infinito que es la dirección del desplazamiento, por lo que tenemos una homotecia afín.











Dadas tres rectas, (en el dibujo en color rojo), dos de ellas paralelas y un triángulo ABC, (en el dibujo en color rosa), se trata de realizar las transformaciones pertinentes para que la figura se convierta en un triángulo cuyos vértices incidan sobre las tres rectas. Trasladamos la figura dada en una dirección cualquiera hasta transformar el segmento CB en el segmento GH, para ello hacemos una recta por el vértice B con una dirección cualquiera hasta que corta a la recta EM en el punto G, por éste hacemos una recta paralela a la recta CB hasta que corte a la recta paralela a GB que pasa por C. Tenemos de esta forma el segmento trasladado GH con su base sobre la recta roja y lo giramos tomando como centro G hasta que corte a la recta DF en el punto I. Hemos por tanto trasladado el triángulo rosa y hemos girado su lado CB hasta obtener su nuevo lado IG a partir del cual construimos el triángulo equilátero IGJ. A partir de ahora sólo hay que trasladar este triángulo de color verde en la dirección de las rectas paralelas dadas, para ello hacemos una recta paralela por J a la recta FD hasta que corte a la recta DE, obteniendo de esta forma el punto K. Por este punto K hacemos dos los paralelas KL KM a los lados JG JI del triángulo verde obteniendo los otros dos puntos M L del triángulo azul buscado.



giro y traslación - GeoGebra Hoja Dinámica







giro y traslación

























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Simetrías


Simetría central

Mover los puntos ABCD para ver los casos distintos y particulares.






















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Simetría central: 2 puntos A-A’ son simétricos respecto a un 3º punto O cuando al trazar una recta que pasa por los 3 se tiene OA= OA’. Un ejemplo práctico de simetrías es el que se produce en los espejos.

Simetría axial - GeoGebra Hoja Dinámica

Simetría axial

Mover los puntos ABCDE para ver los casos distintos y particulares.





















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Simetrías:
La simetría axial transforma un punto en otro punto respecto a una recta llamada eje de manera que el segmento que une los dos puntos simétricos es perpendicular al mismo, y ambos puntos están a la misma distancia del eje de simetría. La simetría es un desplazamiento inverso en la que todos los puntos del eje son invariantes.
La simetría central transforma un punto en otro punto respecto a un centro fijo, de manera que la distancia de ese punto al centro es igual que la distancia del centro al simétrico de ese punto.

Producto de simetrías axiales: el producto de dos simetrías axiales respecto a ejes paralelos es una traslación del primer elemento al que se aplica la primera simetría. Si se aplica un producto de simetrías axiales en el que se cortan los ejes de simetría, tenemos un giro cuyo centro es el punto de corte de ambos ejes de simetría, siendo la amplitud o ángulo de ese giro el doble del ángulo entre ambos ejes.
La simétrica central de una recta m es siempre paralela a ella: m'.
Para trazar la simétrica central de una figura, basta con unir cada punto de ella: A, con el centro de simetría O mediante una recta y situar sobre la misma a igual distancia su simétrico A', de manera que O quede en el centro de AA'.


Un polígono irregular se transforma en otro m
ediante una simetría central. Cada punto A y su simétrico A’ dejan al centro de la simetría O en el punto medio y cada recta se transforma en su simétrica manteniendo el paralelismo. El segmento m se transforma en el segmento m’ y tras aplicar la simetría ambos permanecen paralelos.

Triángulo rojo simétrico del verde desde el centro O. Para calcular una figura simétrica central, se une el punto A con el centro de simetría O mediante un segmento que prolongamos. Tomamos la distancia OA como radio, haciendo centro en el punto O hacemos un arco hasta que corte a su prolongación en el punto A’. El pu
nto A’es el simétrico de A respecto al centro O. Con los demás puntos se opera de igual forma.



La figura simétrica central de otra que es la misma figura original girada 180° tomando el centro de simetría como centro de giro.








Triángulos simétricos respecto al centro O.








Trapezoide simétrico de otro respecto al centro P.










Simetría axial: 2 puntos A A' son simétricos respecto a una recta (eje de simetría) cuando al unirlos resulta una perpendicular a los mismos (en verde) y el punto medio del segmento perpendicu
lar está sobre la recta llamada eje. 2 figuras simétricas axiales (en rojo y ocre) son inversamente iguales, esto es, de sentido contrario.


En la figura observamos los dos tipos de simetrías planas que existen: a la derecha un trapezoide amarillo tiene por simétrico a otro de color rojo. Observamos que cada punto tiene su homólogo a igual distancia respecto al eje de simetría, por tanto su imagen está sobre la recta perpendicular al eje y a igual distancia del eje de simetría.
En el caso de la simetría central (en la figura de la izquierda) tenemos que cada punto del trapezoide ABCD tiene por simétrico a otro que está a igual distancia respecto al centro de simetría O. Se tiene además que cada par de puntos simétricos A A’ están alineados siempre con el centro de simetría O, por lo que se puede hacer una circunferencia cuyo centro O sea el de simetría y cada par de puntos simétricos forman parte de los polos opuestos de cada diámetro de la circunferencia que definen ambas puntos simétricos.
Observamos que podemos obtener una figura respecto de la otra por un simple giro de 180°, se puede comprobar también que el paralelismo resulta invariable, los lados de la figura tienen sus lados simétricos paralelos (por ejemplo, el lado AB que es paralelo al lado A’B’).


Ejercicio resuelto por simetría:

Se trata de calcular la distancia más corta entre los dos puntos A B pero tocando la recta e.
Un ejemplo práctico podría ser el cálculo sobre un plano de la distancia más corta entre dos puntos del desierto A B pero desviándonos hacia una recta e que representa un río en el que hay que coger agua.

Para desplazarnos desde el punto B hasta el punto A tocando a la recta e, consideramos ésta como el eje de simetría y calculamos el punto simétrico de A, que es A'. Alineamos A' con B y en el punto de intersección P hacemos una recta hasta A. la línea poligonal BPA es la distancia más corta entre dos puntos AB tocando a la recta e, ya que BA' es una línea recta, la distancia más corta entre dos puntos, y PA=PA', por lo que BA'=BA.

Otro ejemplo de simetrías lo tenemos en la reflexión de los objetos: un objeto reflejado es el simétrico del original: cálculo de reflejos.




Superficie reflectante

Existe una simetría espacial entre los elementos que se reflejan en una superficie reflectante: aparte de proyectar las sombras desde una luz puntual que provoca que las sombras de los segmentos verticales no sean paralelas, la figura refleja los elementos interiores como prismas, de esta forma tenemos que la simétrica espacial del punto C es el punto C’. Aparte de reflejar los prismas, también refleja las sombras y la luz: la sombra B que arroja el prisma más pequeño se proyecta mediante una simetría espacial teniendo como imagen el punto B’. De la misma forma la sombra proyectada que pasa por el punto D obtiene su imagen simétrica sobre la cara del prisma vertical en el punto D’. Para obtener por tanto la reflexión de todos los elementos, basta con proyectar punto por punto sobre el plano reflectante, de manera que la distancia del punto A al plano de reflexión es igual que la distancia del plano de reflexión al punto reflejado A’.

La tonalidad de las reflexiones tiene un valor más oscuro allí donde hay sombra (eso quiere decir que sobre las zonas de luz se definen menos los elementos reflejados), de la misma manera la reflexión es más intensa si se superpone a la oscuridad de la sombra propia del objeto.



Simetría espacial.

En una simetría plana los elementos obtienen su imagen sobre el mismo plano, siendo el eje la mediatriz del segmento que une cada punto y su simétrico. En la simetría espacial, cada elemento tiene su simétrico a igual distancia pero en vez de ser respecto una recta lo es respecto a un plano. Como podemos observar en el dibujo el prisma orientado en posición oblicua respecto al plano verde g se proyecta punto por punto a igual distancia por debajo del plano que por encima, de esta forma se obtiene su figura inversa por debajo del plano, que es su simétrica en el espacio. De esta forma el punto A se transforma en A’, B se transforma en B’, siendo la recta A-A’ perpendicular al plano y estando éste situado en el punto medio Ac del segmento A-A’. Como podemos observar si el plano verde continuara y fuera un espejo, su reflexión sería la figura que se ve proyectada abajo.


2 sime centrales es traslación - GeoGebra Hoja Dinámica

Dos simetrías centrales con distinto centro es una traslación: dos simetrías centrales que transforman una figura primera en otra segunda y ésta en otra tercera, la primera se puede transformar en la tercera mediante una traslación.





















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2 sime centrales igual centro es identidad - GeoGebra Hoja Dinámica

Dos simetrías centrales de igual centro producen una identidad.






















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sime axial ejes secantes giro - GeoGebra Hoja Dinámica

El producto de dos simetrías axiales con ejes secantes es un giro: si una figura es simétrica axial de otra y ésta de una tercera, la primera se puede transformar en la tercera mediante un giro.

http://teoremas-de-geometria.blogspot.com.es/2012/03/teorema-de-bravais.html





















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Ejercicios resueltos por simetrías:


Dado un cuadrilátero ABCD, determinar el punto E de su perímetro desde el que se ven los segmentos AB y CD bajo el mismo ángulo.







Reflejo en dos espejos - GeoGebra Hoja Dinámica







Construimos el punto simétrico C’1 de C respecto a la recta AD. Unimos este punto con B y en la intersección con el segmento AD tenemos E, punto desde el que se ven AB y CD bajo un mismo ángulo.


Vista de dos segmentos bajo el mismo ángulo























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Dado un punto B y dos rectas verdes (una de ellas sobre él), determinar un punto H sobre la recta BA que equidiste de B y de la recta AD.





Distancia de un punto a otro y a recta. - GeoGebra Hoja Dinámica






Dadas dos rectas (en color verde), se trata de calcular un punto H que tenga la misma distancia respecto a una de las rectas AD que a otro punto B sobre otra de las rectas.

Construimos desde B una recta perpendicular a la otra recta verde obteniendo de esta forma BD. Por un punto cualquiera C de la recta verde AD hacemos otra perpendicular a AD hasta que corta a la otra recta en el punto E. En este punto hacemos una circunferencia cuyo radio es EC. La circunferencia corta a la recta AB en el punto F que unido al punto C determina la recta CF.

Observamos que si hacemos la mediatriz de esta recta obtenemos el centro de la circunferencia E, punto que equidista de la recta verde AD y del punto F.

De la misma forma si construimos una recta paralela a la recta FC por B tenemos la recta BG, cuya mediatriz determina el punto buscado H.

HB=HG.



Equidistancia de un punto a otro y a una recta.

























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Dado un punto D sobre una recta morada y una circunferencia verde, determinar un punto G sobre la recta morada que equidiste de la circunferencia verde y del punto D.







Distancia de un punto a otro y a Circ. - GeoGebra Hoja Dinámica






Dada una recta (en el dibujo en color morada) y un punto D sobre esta recta, así como una circunferencia exterior (en color verde), se trata de calcular un punto G sobre la recta morada que equidiste de la circunferencia verde y del punto dado D.

Hacemos por el centro A de la circunferencia verde una recta paralela a la recta morada dada, de esta manera obtenemos en la intersección con la circunferencia el punto E, punto por el que hacemos una recta paralela a la dirección AD. Esta dirección por E corta a la recta morada en el punto F. Tomando el segmento FA y construyendo su mediatriz obtenemos en la intersección con la recta morada el punto G, que es la solución ya que equidista de la circunferencia verde y del punto D.

Equidistancia de un punto a otro y a Circunferencia

























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